Enunciado

Um modelo para o preço médio norte-americano para o açúcar refinado entre, 1993 e 2003, é dado pela função

S t =   - 0,00003237 t 5 + 0 , 0009037 t 4 - 0,008956 t 3 + 0,03629 t 2 - 0,04458   t + 0,4074

Onde t é medido em anos a partir de agosto de 1993. Estime os instantes nos quais o açúcar esteve mais barato e mais caro entre 1993 e 2003.

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão! O enunciado quer os momentos em que o açúcar esteve mais caro e mais barato… Hummmm… então ele quer os pontos de máximo e mínimo da função! Show!

Pra isso vamos usar o método do intervalo fechado,

O Método do Intervalo Fechado - Para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um intervalo fechado [a,b]:

1-      Encontre os valores de f  nos extremos do intervalo.

2-      Encontre os valores de f  nos números críticos de f em [a,b].

3-      O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Passo 2

primeiro encontrando os valores críticos, vamos derivar a função e igualar a zero:

S ' t = - 0,00003237.5 . t 5 - 1 + 0,0009037 . 4 . t 4 - 1 - 0,008956.3 . t 3 - 1 + 0,03629.2 . t 2 - 1 - 0,04458 . 1 . t 1 - 1

S ' t =   - 0,00016185 t 4 + 0,0036148 t 3 - 0,026868 t 2 + 0,07258 t - 0,04458

- 0,00016185 t 4 + 0,0036148 t 3 - 0,026868 t 2 + 0,07258 t - 0,04458 = 0

Agora precisamos resolver essa equação do quarto grau… Bom, pra isso precisamos usar algum método número ou software, né? Usando o método numérico da bisseção… Nós teremos que:

t 1   ≈   9,57 t 2   ≈   7,29 t 3   ≈   4,62 t 4   ≈   0,85

Beleza! Mas e agora? Bom, vamos substituir cada valor na nossa função, ok? Vamos nessa!

Passo 3

Vamos primeiro com o t 1 :

S t 1 = - 0,00003237 . 9,57 5 + 0,0009037 . 9,57 4 - 0,008956 . 9,57 3 + 0,03629 . 9,57 2 - 0,04458.9,57 + 0,4074

S t 1 =   - 2,5984 + 7,5800 - 7,8496 + 3,3236 - 0,4266 + 0,4074

S t 1 =   0,4364

Agora com o t 2 :

S t 2 = - 0,00003237 . 7,29 5 + 0,0009037 . 7,29 4 - 0,008956 . 7,29 3 + 0,03629 . 7,29 2 - 0,04458.7,29 + 0,4074

S t 2 =   - 0,6665 + 2,5523 - 3,4697 + 1,9552 - 0,3249 + 0,4074

S t 2 =   0,4538

Com o t 3 :

S t 3 = - 0,00003237 . 4,62 5 + 0,0009037 . 4,62 4 - 0,008956 . 4,62 3 + 0,03629 . 4,62 2 - 0,04458.4,62 + 0,4074

S t 3 =   - 0,0681 + 0,4117 - 0,8832 + 0,7746 - 0,2059 + 0,4074

S t 3 =   0,4365

Agora pra fechar, com o t 4 :

S t 4 = - 0,00003237 . 0,85 5 + 0,0009037 . 0,85 4 - 0,008956 . 0,85 3 + 0,03629 . 0,85 2 - 0,04458.0,85 + 0,4074

S t 4 =   - 0,00001436 + 0,0004717 - 0,0055 + 0,02622 - 0,03789 + 0,4074

S t 4 =   0,3907

Passo 4

Mas ainda não acabou! Precisamos calcular o S ( 0 ) e o S ( 10 ) , pois são em anos os extremos no nosso intervalo, vamos lá:

S 0 =   - 0,00003237 . 0 5 + 0,0009037 . 0 4 - 0,008956 . 0 3 + 0,03629 . 0 2 - 0,04458.0 + 0,4074

S 0 =   0,4074

S 10 =   - 0,00003237 . 10 5 + 0,0009037 . 10 4 - 0,008956 . 10 3 + 0,03629 . 10 2 - 0,04458.10 + 0,4074

S 10 =   - 3,237 + 9,037 - 8,956 + 3,629 - 0,4458 + 0,4074

S 10 =   0,4346

Com esses valores vamos verificar que o maior deles será o nosso ponto máximo absoluto da função e o menor o ponto mínimo absoluto, ok?

Então, nós podemos dizer que o açúcar esteve mais caro em S t 3 =   0,4365 e esteve mais barato em S t 4 =   0,3907 . Pra gente descobrir o mês vamos fazer o seguinte, se o t é medido em anos, temos:

t 3 = 4,62   a n o s

t 4 =   0,85   a n o s   → 10,2   m e s e s

Contando a partir de agosto de 1993, nosso mês mais caro será, quatro anos e sete meses depois, em março de 1998, e o mês mais barato será, dez meses depois, em junho de 1994.

Uhul! Conseguimos!

Resposta

Nosso mês mais caro será em março de 1998 e o mês mais barato será em junho de 1994.

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