Enunciado

Duas partículas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos 0 x e 0 y . A função de posição de P é x = t e a de Q , y = t 2 - 3 4 , t ≥ 0 . Determine o instante em que a distância entre P e Q seja a menor possível.

Passo 1

Podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos, considerando que um ponto de P é dado por t ,   0 e um ponto de Q é dado por 0 ,   t 2 - 3 4 .

d P Q = 0 - t 2 + t 2 - 3 4 - 0 2

d P Q = t + t 4 - 3 t 2 2 + 9 16

Passo 2

Assim, basta minimizar a função f t que está dentro da raiz quadrada:

f t = t + t 4 - 3 t 2 2 + 9 16

Derivamos essa função e igualamos a zero:

f ' t = 1 + 4 t 3 - 3 t = 0

t = - 1           o u           t = 1 2

Como devemos ter t ≥ 0 , o único ponto crítico é t = 1 2 .

Passo 3

Agora, vamos avaliar f t no seu ponto críticos e nos extremos do seu domínio:

f 1 2 = 1 2 + 1 2 4 - 3 2 1 2 2 + 9 16 = 0,75

f 0 = 9 16 = 0,5625

lim t → + ∞ ⁡ t + t 4 - 3 t 2 2 + 9 16 = + ∞

Assim, o menor valor de f t ocorre quando t = 0 , e portanto, também é o valor que minimiza a distância d P Q .

Resposta

t = 0

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