Enunciado

Mostramos, nesta seção, que uma solução da equação de Bessel de ordem zero

L y = x 2 y ' ' + x y ' + x 2 y = 0

é J 0 ,   em que J 0 x é dada pela Eq. (7) com a 0 = 1 . De acordo com o Teorema 5.6.1, uma segunda solução tem a forma x > 0

y 2 x = J 0 x l n x + ∑ n = 1 ∞ b n x n .

a) Mostre que

L y 2 x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n x n + ∑ n = 1 ∞ n b n x n + ∑ n = 1 ∞ b n x n + 2 + 2 x J 0 ' x             ( i )

b) Substituindo a representação em série de J 0 ( x ) na Eq (i), mostre que

b 1 x + 2 2 b 2 x 2 + ∑ n = 3 ∞ n 2 b n + b n - 2 x n = - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n x 2 n 2 2 n n ! 2               ( i i )

Dica: ver questão 8.

c) Note que aparecem apenas potêcias pares de x na expressão á direita do sinal de igualdade na Eq (ii). Mostre que b 1 = b 3 = b + 5 = … . = 0 ,   b 2 = 1 2 2 1 ! 2 e que

2 n 2 b 2 n + b 2 n - 2 = - 2 - 1 n 2 n 2 2 n n ! 2 ,   n = 2,3 , 4 …

Deduza que

b 4 = - 1 2 2 4 2 1 + 1 2   e   b 6 = 1 2 2 4 2 6 2 1 + 1 2 + 1 3

A solução geral da relação de recorrência é b 2 n = - 1 n + 1 H n 2 2 n n ! 2 . Substituindo b n na expressão para y 2 x , obtemos a solução na Eq. (10).

Passo 1

c) Igualando o coeficiente nos dois lados da equação, encontramos que

b 1 = b 3 = … = b 2 m + 1 = … = 0

Ainda, com n = 1 ,   2 2 b 2 = 1 1 ' 2 , isso é b 2 = 1 2 2 1 ! 2

Temso então que para m ≥ 2

2 m 2 b 2 m + b 2 m - 2 = - 2 - 1 m ( 2 m ) 2 2 m m ! 2

Mais especificamente

b 4 = - 1 2 2 4 2 1 + 1 2  

  b 6 = 1 2 2 4 2 6 2 1 + 1 2 + 1 3

Isso pode ser mostrado como

b 2 m = - 1 m + 1   H m 2 2 m m ! 2  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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