Enunciado

28. Mostre que a equação de Legendre também pode ser escrita como

[ ( 1   –   x 2 ) y ' ] '   =   –   α ( α   +   1 ) y

Segue, então, que

1 - x 2 P n ' x ' =   - n n + 1 P n x

E

1 - x 2 P m ' x ' =   - m m + 1 P m x

Multiplicando a primeira equação por Pm(x), a segunda por Pn(x), integrando por partes e depois subtraindo uma equação da outra, mostre que

∫ - 1 1 P n x P m x d x = 0

Se m ≠ n

Essa propriedade dos polinômios de Legendre é conhecida como a propriedade de ortogonalidade. Se m = n, pode-se mostrar que o valor da integral acima é 2/(2n + 1)

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer para nos nortear é olhar para a equação de Legendre

  ( 1   –   x 2 ) y ″   –   2 x y '   +   α ( α   +   1 ) y   =   0  

O que o enunciado quer de nos é que mostremos que

[ ( 1   –   x 2 ) y ' ] '   =   –   α ( α   +   1 ) y

Essa segunda equação é a equação de Legendre. Logo só nos resta derivar

[ ( 1   –   x 2 ) y ' ] '   =   –   α ( α   +   1 ) y

1   –   x 2 ' y ' + 1   –   x 2 y ' '   =   –   α ( α   +   1 ) y

1   –   x 2 y ' ' - 2 x y ' =   –   α ( α   +   1 ) y  

Prontinho conseguimos provar que realmente tínhamos a equação de Legendre em mãos

Passo 2

Agora o enunciado nos pede para provar que

∫ - 1 1 P n x P m x d x = 0

Se m ≠ n .

Bem Pode parecer estranho, mas esse calculo é um produto interno

Vamos Lembrar de quando fizemos geometria analítica e tínhamos que

a ⋅ b   = a b cos ⁡ θ  

Onde θ é o ângulo estre os vetores. Se eles eram ortogonais θ =   90 º o que faz com que o produto interno seja nulo, visto que cos ⁡ 90 = 0 . O produto interno no modo integral funciona da mesma maneira

∫ - 1 1 P n x P m x d x = 0

Podemos pensar nas funções como vetores. E se eles forem ortogonais essa integração é nula. Fisicamente isso acontece quando nossas partículas estão em poços de potencial em estados excitados diferentes, por exemplo. Vamos testar e ver se funciona, podemos pegar polinômio de Legendre mais simples, por exemplo

P 0 = 1

P 1 = x

Todos os polinômios de Legendre são ortogonais entre si, então pegar qualquer um para exemplo serve. Assim nossa integral fica

∫ - 1 1 1 ⋅ x   d x

x 2 - 1 1 = 1 2 1 - 1 = 0

Pode testar com qualquer n ≠ m   e obterá o mesmo resultado. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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