Enunciado

Mostramos, nesta seção, que uma solução da equação de Bessel de ordem zero

L y = x 2 y ' ' + x y ' + x 2 y = 0

é J 0 ,   em que J 0 x é dada pela Eq. (7) com a 0 = 1 . De acordo com o Teorema 5.6.1, uma segunda solução tem a forma x > 0

y 2 x = J 0 x l n x + ∑ n = 1 ∞ b n x n .

a) Mostre que

L y 2 x = ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n x n + ∑ n = 1 ∞ n b n x n + ∑ n = 1 ∞ b n x n + 2 + 2 x J 0 ' x             ( i )

Passo 1

a) Para resolver essa questão é suficiente que calculemos L [ J 0 x ln ⁡ x ]

Temos

L J 0 x ln ⁡ x ' = J 0 x ln ⁡ x + J 0 x x

e

L J 0 x ln ⁡ x ' ' = J 0 ' ' x ln ⁡ x + 2 J 0 ' x x - J 0 x x

Passo 2

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L J 0 x ln ⁡ x = x 2 J 0 ' ' x l n x + 2 x J 0 ' x - J 0 x + x J 0 ' x ln ⁡ x + J 0 x + x 2 J 0 x ln ⁡ x

Como temos que x 2 J 0 ' ' x + x J 0 ' x + x 2 J 0 x = 0

Então substituímos e encontramos

L J 0 x ln ⁡ x = 2 x J 0 ' x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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