Mostrar que a função y = x \* e^(-x^2 / 2) satisfaz a equação x \* y^' = (1 - x^2)y .

Passo 1

Para verificarmos isso, vamos fazer a derivação implícita da função. Vamos derivar em relação à variável x .

y ' = 1 ∙ e - x 2 2 + x ∙ ( - x ) ∙ e - x 2 2

y ' = e - x 2 2 - x 2 ∙ e - x 2 2

y ' = e - x 2 2 ∙ ( 1 - x 2 )

Passo 2

Obtido o valor de y ' , substituímos ele na expressão da equação diferencial do enunciado, que queremos comprovar se será satisfeita ou não pela função. Teremos:

x ∙ [ e - x 2 2 ∙ 1 - x 2 ] = 1 - x 2 y

Simplificando o termo ( 1 - x 2 ) em ambos os lados, vamos resultar em:

x ∙ e - x 2 2 = y

Que é exatamente a nossa função original. Então, concluímos que a equação diferencial apresentada pelo enunciado é satisfaz (ou seja, é solução) a função dada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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