Enunciado

Se a = 〈1,0 , 1〉 , b = 〈2,1 , - 1〉 , e c = 〈0,1 , 3〉 , mostre que a xx (b xx c) != (a xx b) xx c .

Passo 1

A gente pode fazer os dois casos separadamente e depois comparar os resultados...

Vamos fazer primeiro a xx (b xx c) . Precisamos de b xx c primeiro, então é isso que a gente vai fazer...

b xx c = d e t [[[i,j,k],[2,1,-,1],[0,1,3]]] = i |[[1,-,1],[1,3]]| - j |[[2,-,1],[0,3]]| + k |[[2,1],[0,1]]|

= 4 i - 6 j + 2 k

(a gente faz o determinante de cada matriz 2 xx 2 ali)

E encontramos o vetor:

b xx c = ( 4 , - 6,2 )

Passo 2

Agora a gente vai fazer o produto vetorial entre a e o vetor que a gente encontrou...

Mesmo jeitinho...

a xx (b xx c) = [[[i,j,k],[1,0,1],[4,-,6,2]]] = i |[[0,1],[-,6,2]]| - j |[[1,1],[4,2]]| + k |[[1,0],[4,-,6]]|

= 6 i + 2 j - 6 k

E encontramos o vetor:

a xx ( b xx c ) = ( 6,2 , - 6 )

Então achamos a primeira parte, que nos deu: ( 6,2 , - 6 ) ...

Vamos ver o que dá no outro lado agora...

Passo 3

(a xx b) xx c

Aqui a gente faz primeiro o produto vetorial entre a e b ...

a xx b = d e t [[[i,j,k],[1,0,1],[2,1,-,1]]] = i |[[0,1],[1,-,1]]| - j |[[1,1],[2,-,1]]| + k |[[1,0],[2,1]]|

= - i + 3 j + k

Ou seja...

a xx b = ( - 1,3 , 1 )

Agora é só fazer o produto vetorial desse vetor com c ...

(a xx b) xx c = d e t [[[i,j,k],[-,1,3,1],[0,1,3]]] = i |[[3,1],[1,3]]| - j |[[-,1,1],[0,3]]| + k |[[-,1,3],[0,1]]|

= 8 i + 3 j - k

E achamos: (a xx b) xx c = ( 8,3 , - 1 ) ...

Ou seja, a xx ( b xx c ) = ( 6,2 , - 6 )

!=

(a xx b) xx c = ( 8,3 , - 1 )

Resposta

a xx ( b xx c ) = ( 6,2 , - 6 )

!=

(a xx b) xx c = ( 8,3 , - 1 )

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Use o produto vetorial para obter as coordenadas do pé da perpendicular baixada do ponto P = 1,2 , 3 sobre o plano que contém os pontos A = 5,6 , 0 ,B = 0,2 , 2eC = 1,0 , 4 .
Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2, 1, 6) e os três vértices adjacentes nos pontos B = (4, 1, 3), C = (1, 3, 2) e D = (1, 2, 1).
Calcule a área do paralelogramo em que três vértices consecutivos são A = (1, 0, 1), B = (2, 1, 3) e C = (3, 2, 4).
Calcule a área do triângulo com vértices A = (1, 2, 1), B = (3, 0, 4) e C = (5, 1, 3).
Sabe-se que o vetor X é ortogonal a i → + j → e a - i → + k → , tem norma 3 e sendo θ o ângulo entre X e j → , tem-se cos θ0. Ache X.