Enunciado

  1. Seja P um ponto fora do plano que passa pelos pontos Q, R e S. Mostre que a distância d   de P para o plano é
  2. d = | a ∙ b × c | | a × b |

    Onde a = Q R →   ,   b =   Q S →   e   c = Q P → .

  3. Use a fórmula da parte (a) para encontrar a distância do ponto P ( 2,1 , 4 ) em relação ao plano que passa pelos pontos Q ( 1,0 , 0 ) , R 0,2 , 0 e S ( 0,0 , 3 ) .

Passo 1

  1. Vamos dar uma olhada numa figura pra orientar a gente...
  2. A distância do ponto P ao plano é d , nessa figura a gente tá demarcando como o segmento T P → .

    A gente sabe que T P →   é perpendicular a a   e   b , então, T P → é paralelo a a × b .

    T P → é também a projeção escalar de c sobre a × b , ou seja   T P → = c | cos ⁡ θ | = h .

      T P → = V A

    Sendo V o volume e A = | a × b | a área da base do paralelepípedo gerado pelos vetores.

    Então,

    T P → = d = a ∙ ( b × c ) | a × b |

    Passo 2

  3. Vamos identificar os lados fazendo os vetores. A gente tem que:

a = Q R →   ,   b =   Q S →   e   c = Q P →

Então...

a = ( - 1,2 , 0 )

b = - 1,0 , 3

c = ( 1,1 , 4 )

A gente quer achar d , então precisamos:

d = a ∙ ( b × c ) | a × b |

Vamos encontrar o produto misto...

det ⁡ - 1 2 0 - 1 0 3 1 1 4 = - 1 0 3 1 4 - 2 - 1 3 1 4 + 0 - 1 0 1 1

= 3 + 14 = 17

Agora só falta o produto vetorial de a   e   b ...

det ⁡ i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = i 2 0 0 3 - j - 1 0 - 1 3 + k - 1 2 - 1 0

= 6 i + 3 j - 2 k

a × b = ( 6,3 , - 2 )

E...

a × b = 6 2 + 3 2 + - 2 2 = 49 = 7

Passo 2

A distância então é:

d = a ∙ ( b × c ) | a × b |

d = 17 7

Resposta

d = 17 7

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