Mostre que 1 / 2 (Tn + Mn) = T2n .

Passo 1

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T n = 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n

Para a aproximação do Ponto Médio, onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo, temos:

M n = ∆ x f x - 1 + f x - 2 + ∙ ∙ ∙ + f x - n - 1 + f x - n

Para T 2 n ficamos com:

T 2 n = 1 2 1 2 ∆ x f x 0 + 2 f x - 1 + 2 f x - 2 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x - n - 1 + 2 f x n - 1 + 2 f x - n + f x n

Assim, temos que:

1 2 T n + M n = 1 2 T n + 1 2 M n = 1 4 ∆ x f x 0 + 2 f x 1 + 2 f x 2 + ∙ ∙ ∙ + 2 f x n - 1 + f x n + 1 4 ∆ x 2 f x - 1 + 2 f x - 2 + ∙ ∙ ∙ + f 2 x - n - 1 + 2 f x - n = T 2 n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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