Enunciado

Mostre que, se ( N x - M y ) / ( x M - y N ) = R , em que R só depende do produto x y ; então a equação diferencial

M + N y ' = 0

Tem um fator integrante da forma μ ( x y ) . Encontre um fórmula geral para esse fator integrante.

Passo 1

Primeira coisa que precisamos fazer é buscar uma forma de separar nossas variáveis. Basicamente chegamos em uma disciplina que requer que forcemos nosso lado matemático.

Suponha uma equação dada da seguinte forma

P x , y d x + Q x , y d y = 0

Dizemos que ela é exata, se e somente se

d d y P x , y - d d x Q x , y = 0

Além disso, dizemos que ela possuir uma função pontencial Y ( x , y )

Passo 2

Nosso problema começa assumindo que a função não é uma diferencial exata e que precisamos de um fator integrante para transformá-la em exata.

Assumindo que se

N x - M y x M - y N = R ( x y )

Então nosso fator integrante também é uma função só de y . Assim fazendo

μ x y M + μ x y N y ' = 0

E sabendo que ela é uma diferencial exata agora, temos

d d x μ x y N - d d y ( μ x y M ) = 0

Derivando, temos

μ ' y N + μ N x - μ ' x M - μ M y = 0

μ N x - M y - μ ' x M - y N = 0

Dividindo tudo por M

μ N x - M y x M - y N = μ '  

Onde sabemos o que é ( N x - M y ) / ( x M - y N )

Assim temos

μ ' ( x y ) μ ( x y ) = R ( x y )

Integrando em y temos

ln ⁡ μ x y = ∫ R x y d x y

Que implica em

μ x y = exp ⁡ ∫ R x y d ( x y )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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