Enunciado

Mostre que a curva y = 1 + x 1 + x 2 tem três pontos de inflexão e todos ficam sobre uma mesma reta.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos provar, que a função dada possui 3 pontos de inflexão e que os 3 pontos ficam sobre a mesma reta.

Um ponto P na curva y = f ( x ) é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P.

Passo 2

Para achar o ponto de inflexão devemos achar a segunda e igualar a 0 :

y ' = 1 + x 1 + x 2 '

Vamos usar a regra da derivada da divisão, do polinômio e da constante:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

Passo 3

Vamos derivar:

y ' = 1 + x 1 + x 2 '

= 1 + x ' . 1 + x 2 - 1 + x . 1 + x 2 ' 1 + x 2 2

= 0 + x 1 - 1 . 1 + x 2 - 1 + x . 0 + 2 x 2 - 1 1 + x 2 2

= 1 + x 2 - 2 x 1 + x 1 + x 2 2

= 1 + x 2 - 2 x - 2 x 2 1 + x 2 2

= 1 - x 2 - 2 x 1 + x 2 2

Passo 4

Vamos agora achar a segunda derivada:

y ' ' = 1 - x 2 - 2 x 1 + x 2 2 '

= f ' x g x - f x g ' x g x 2

= 1 - x 2 - 2 x ' 1 + x 2 2 - 1 - x 2 - 2 x 1 + x 2 2 ' 1 + x 2 2 2

= 0 - 2 x 2 - 1 - 2 x 1 - 1 . 1 + x 2 2 - 1 - x 2 - 2 x . 2 . 1 + x 2 2 - 1 . 1 + x 2 ' 1 + x 2 4

= - 2 x - 2 1 + x 2 - 2 1 - x 2 - 2 x 0 + 2 x 2 - 1 1 + x 2 3

= - 2 x - 2 1 + x 2 - 4 x 1 - x 2 - 2 x 1 + x 2 3

= - 2 x - 2 x 3 - 2 - 2 x 2 - 4 x + 4 x 3 + 8 x 2 1 + x 2 3

= - 2 - 6 x + 2 x 3 + 6 x 2 1 + x 2 3

= 2 x - 1 x 2 + 4 x + 1 1 + x 2 3

y ' ' = 2 x - 1 x 2 + 4 x + 1 1 + x 2 3 = 0

Temos que:

x - 1 = 0 e x 2 + 4 x + 1 = 0

O que nos dá:

x = 1 e x = - 2 ± 3

Podemos confirmar que são pontos de inflexão testando os intervalos entre os zeros:

- ∞ , - 3.73   : y ' ' - 4 ≈ - 0.0002

- 3.73 , - 0.268 : y ' ' - 1 = 1

- 0.268,1 : y ' ' 0 = - 2

1 , ∞ : y ' ' 2 = 0.208

Intervalos adjacentes têm sinais diferentes, portanto, são pontos de inflexão.

Passo 5

Vamos provar agora que eles ficam na mesma reta, para isso podemos provar que a inclinação m a c é igual a m b c :

m a c = f c - f ( a ) c - a

m b c = f c - f ( b ) c - b

Vamos dizer então que a = 1 , b = - 2 + 3 e c = - 2 - 3

Vamos achar f ( a ) , f ( b ) e f ( c ) :

f a = f 1 = 1 + 1 1 + 1 2 = 1

f b = f - 2 + 3

= 1 + - 2 + 3 1 + - 2 + 3 2

= 1 + 3 4

f c = f - 2 - 3

= 1 + - 2 - 3 1 + - 2 - 3 2

= 1 - 3 4

Passo 6

Substituindo de volta:

m a c = f c - f a c - a

= 1 - 3 4 - 1 - 2 - 3 - 1

= 1 - 3 - 4 4 - 3 - 3

= - 3 - 3 4 - 3 - 3

= - 3 - 3 4 . 1 - 3 - 3

= 1 4

m b c = f c - f b c - b

= 1 - 3 4 - 1 + 3 4 - 2 - 3 - - 2 + 3

= 1 - 3 - 1 - 3 4 - 2 - 3 + 2 - 3

= - 2 3 4 - 2 3

= 1 4

Então terminamos aqui nossa resolução. Abaixo você pode ver os pontos

Resposta

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