Enunciado

Mostre que as curvas r = a sen ⁡ θ e r = a cos ⁡ θ se interceptam com ângulos retos.

Passo 1

Para descobrirmos onde essas curvas se interceptam, precisamos achar um ponto onde em um mesmos ângulo as duas tenham o mesmo valor de r . Para isso basta igualar as equações e achar o θ correspondente.

Agora para descobrir o ângulo que elas se interceptam, usaremos as inclinações das tangentes no ponto de intersecção. Para que sejam ângulos retos, uma inclinação tem que ter um valor m e a outra - 1 / m .

Passo 2

Achando os pontos de intersecção, igualado as equações

a sen ⁡ θ = a cos ⁡ θ

Dividindo a equação por a

sen ⁡ θ = cos ⁡ θ

Qual o ângulo θ que tem seno e cosseno com o mesmo valor? Para θ = π 4 e θ = 5 π 4 .

Outro ponto que elas vão se interceptar, é na origem quando r = 0 , que apesar de não existir um ângulo onde sen ⁡ θ = cos ⁡ θ = 0 , a origem em si, o ponto, em coordenadas polares, é considerado um ponto de todas as angulações, como ele não tem distancia, não faz diferença.

Então os pontos de intersecção dessa curva são r = 0 , θ = π 4 e θ = 5 π 4 .

Passo 3

Agora para saber o ângulo de intersecção vamos calcular a inclinação da tangente em cada ponto, para isso usaremos a fórmula

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para direrenciarmos as curvas vamos chamar de curva 1 a curva

r 1 = a sen ⁡ θ

E de curva 2 a curva

r 2 = a cos ⁡ θ

Chamaremos também a inclinação da curva 1 de m 1 e a inclinação da curva 2 de m 2 . Então

m 1 = d r 1 d θ sen ⁡ θ + r 1 cos ⁡ θ d r 1 d θ cos ⁡ θ - r 1 sen ⁡ θ

Calculando a inclinação para a primeira curva, primeiramente calculando d r 1 d θ

d r 1 d θ = a cos ⁡ θ

Substituindo agora na fórmula

m 1 = a cos ⁡ θ sen ⁡ θ + r 1 cos ⁡ θ a cos ⁡ θ cos ⁡ θ - r 1 sen ⁡ θ

Substituindo também o r 1

m 1 = a cos ⁡ θ sen ⁡ θ + a sen ⁡ θ cos ⁡ θ a cos ⁡ θ cos ⁡ θ - a sen ⁡ θ sen ⁡ θ

m 1 = 2 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ a cos 2 ⁡ θ - a sen 2 ⁡ θ

Simplificando usando as relações sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ e cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

m 1 = a sen ⁡ 2 θ a cos ⁡ 2 θ = tg ⁡ 2 θ

Calculando agora a inclinação para a curva 2

m 2 = d r 2 d θ sen ⁡ θ + r 2 cos ⁡ θ d r 2 d θ cos ⁡ θ - r 2 sen ⁡ θ

Primeiro calculando o d r 2 d θ

d r 2 d θ = - a sen ⁡ θ

Substiruindo d r 2 d θ e r 2 na fórmula

m 2 = - a sen ⁡ θ sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ cos ⁡ θ - a sen ⁡ θ cos ⁡ θ - a cos ⁡ θ sen ⁡ θ

m 2 = - a sen 2 ⁡ θ + a cos 2 ⁡ θ - 2 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Simplificando usando as mesmas relações para a primeira curva

m 2 = a cos ⁡ 2 θ - a sen ⁡ 2 θ = - cotg ⁡ 2 θ

Passo 4

Como vamos analizar também os pontos quando r = 0 , precisamos encontrar para quais ângulos isso ocorre na curva 1 e 2.

Para a curva 1

r 1 = a sen ⁡ θ = 0

sen ⁡ θ = 0

Isso ocorre para θ = 0 e θ = π .

Para a curva 2

r 2 = a cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 0

Isso ocorre em θ = π 2 e θ = 3 π 2 .

Passo 5

Por fim vamos analisar as inclinações, para isso precisamos analisar pontos onde as curvas 1 e 2 tem ângulos θ = π 4 e θ = 5 π 4 , além disso pontos onde as curvas tem r = 0 .

Para θ = π 4

m 1 π 4 = tg ⁡ 2 π 4 = tg ⁡ π 2 = ∄

Mas calculando os limites laterias

lim θ → π 4 - ⁡ m 1 = lim θ → π 4 -   ⁡ tg ⁡ 2 θ = + ∞

lim θ → π 4 + ⁡ m 1 = lim θ → π 4 +   ⁡ tg ⁡ 2 θ = - ∞

Esses valores do limite indicam uma inclinação vertical.

m 2 π 4 = - cotg ⁡ 2 π 4 = - cotg ⁡ π 2 = 0  

Que é uma inclinação horizontal, se temos em uma curva uma inclinação horizontal e na outra uma vertical, as duas se interceptam neste ponto com um ângulo reto.

Para θ = 5 π 4

m 1 5 π 4 = tg ⁡ 10 π 4 = tg ⁡ 5 π 2 = tg ⁡ π 2 = ∄

E como calculamos o limite em cima, sabemos que se trata de uma inclinação vertical.

m 2 5 π 4 = - cotg ⁡ 10 π 4 = - cotg ⁡ 5 π 2 = - cotg ⁡ π 2 = 0  

Assim como para π 4 , temos uma inclinação vertical e outra horizontal, portanto se interceptam com ângulo reto.

Para r = 0 .

Na curva 1 com ângulos θ = 0 e θ = π temos uma inclinação

m 1 0 = tg ⁡ 0 = 0

m 1 π = tg ⁡ 2 π = 0

Então sempre que a curva 1 está na origem, sua inclinação é horizontal.

Na curva 2 com ângulos θ = π 2 e θ = 3 π 2

m 2 π 2 = - cotg ⁡ 2 π 2 = - cotg ⁡ π = ∄

Analisando no limite

lim θ → π 2 - ⁡ m 2 = lim θ → π 2 - ⁡ ( - cotg ⁡ 2 θ ) = + ∞

lim θ → π 2 + ⁡ m 2 = lim θ → π 2 + ⁡ ( - cotg ⁡ 2 θ ) = - ∞

Temos para π 2 na curva 2 uma inclinação vertical.

m 2 3 π 2 = - cotg ⁡ 6 π 2 = - cotg ⁡ 3 π = - cotg ⁡ π = ∄

Para 3 π 2   também temos uma inclinação vertical.

Sempre que a curva 2 está na origem, sua inclinação é vertical.

Se para r = 0 a curva 1 tem inclinação horizontal e a curva 2 vertical, elas se interceptam por ângulos retos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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