Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 66
Mostre que as curvas e se interceptam com ângulos retos.
Passo 1
Para descobrirmos onde essas curvas se interceptam, precisamos achar um ponto onde em um mesmos ângulo as duas tenham o mesmo valor de . Para isso basta igualar as equações e achar o correspondente.
Agora para descobrir o ângulo que elas se interceptam, usaremos as inclinações das tangentes no ponto de intersecção. Para que sejam ângulos retos, uma inclinação tem que ter um valor e a outra .
Passo 2
Achando os pontos de intersecção, igualado as equações
Dividindo a equação por
Qual o ângulo que tem seno e cosseno com o mesmo valor? Para e .
Outro ponto que elas vão se interceptar, é na origem quando , que apesar de não existir um ângulo onde , a origem em si, o ponto, em coordenadas polares, é considerado um ponto de todas as angulações, como ele não tem distancia, não faz diferença.
Então os pontos de intersecção dessa curva são , e .
Passo 3
Agora para saber o ângulo de intersecção vamos calcular a inclinação da tangente em cada ponto, para isso usaremos a fórmula
Para direrenciarmos as curvas vamos chamar de curva 1 a curva
E de curva 2 a curva
Chamaremos também a inclinação da curva 1 de e a inclinação da curva 2 de . Então
Calculando a inclinação para a primeira curva, primeiramente calculando
Substituindo agora na fórmula
Substituindo também o
Simplificando usando as relações e
Calculando agora a inclinação para a curva 2
Primeiro calculando o
Substiruindo e na fórmula
Simplificando usando as mesmas relações para a primeira curva
Passo 4
Como vamos analizar também os pontos quando , precisamos encontrar para quais ângulos isso ocorre na curva 1 e 2.
Para a curva 1
Isso ocorre para e .
Para a curva 2
Isso ocorre em e .
Passo 5
Por fim vamos analisar as inclinações, para isso precisamos analisar pontos onde as curvas 1 e 2 tem ângulos e , além disso pontos onde as curvas tem
Para
Mas calculando os limites laterias
Esses valores do limite indicam uma inclinação vertical.
Que é uma inclinação horizontal, se temos em uma curva uma inclinação horizontal e na outra uma vertical, as duas se interceptam neste ponto com um ângulo reto.
Para
E como calculamos o limite em cima, sabemos que se trata de uma inclinação vertical.
Assim como para , temos uma inclinação vertical e outra horizontal, portanto se interceptam com ângulo reto.
Para .
Na curva 1 com ângulos e temos uma inclinação
Então sempre que a curva 1 está na origem, sua inclinação é horizontal.
Na curva 2 com ângulos e
Analisando no limite
Temos para na curva 2 uma inclinação vertical.
Para também temos uma inclinação vertical.
Sempre que a curva 2 está na origem, sua inclinação é vertical.
Se para a curva 1 tem inclinação horizontal e a curva 2 vertical, elas se interceptam por ângulos retos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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