Mostre que, se x != 0 , então y = 1 / x satisfaz a equação x^3 \* y'' + x^2 \* y' - x \* y = 0 .

Passo 1

Bom ele pede pra gente mostrar que x 3 y ' ' + x 2 y ' - x y = 0 , onde y   = 1 x e x ≠ 0 . Então, precisamos dos valores das terceira e primeira derivadas da função, para substituir na equação e mostrar que ela está correta. Mãos à obra!

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas da função:

y   = 1 x = x - 1

y ' = - x - 2

y ' ' = 2 x - 3

y ' ' ' = - 6 x - 4

Bom, essas são as derivadas da função. Agora só precisamos substituir na equação que o problema nos deus e fazer as continhas.

Passo 3

Temos:

x 3 y ' ' + x 2 y ' - x y = 0

Substituindo:

2 x 0 - x 0 - x 0 = 0

Arrumando esse cara:

2 - 1 - 1 = 0

0 = 0

Prontinho, provado! 😉

Resposta

Provado no passo a passo.

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