Enunciado

Mostre que a equação da cônica que tem eixo principal ao longo do semi-eixo π 2 e de sua extensão, um foco na origem e cuja diretriz correspondente está abaixo do foco é:

r = e d 1 - e . s e n   θ

Passo 1

Então galera, essa relação é provada por pura geometria, tudo bem? O problema se torna chatinho para resolver só na montagem, mas depois fica mais tranquilo, você vai ver! Representando a cônica descrita pelo enunciado, teremos:

Note que assim como dito pela questão, a diretriz foi representada abaixo do foco, o eixo principal está ao longo do semi-eixo π 2 , mas aqui foi representado como θ qualquer e, por fim, um foco está na origem.

Passo 2

Da figura acima, temos que o ponto P ( r ,   θ ) só estará presente na cônica se 0 P - = e . R P - , onde e é a excentricidade da cônica em questão. Ademais, como P está acima da diretriz D , então R P - > 0 . Além disso, como r > 0 , então 0 P - = r . Substituindo na expressão que acabamos de escrever incluindo a excentricidade e da cônica, teremos:

r = e . R P -

Mas po, se olharmos na figura, o que seria R P - ? Você deve concordar comigo que podemos escrever essa semirreta da seguinte forma:

R P - = D 0 - + O Q -

Como D 0 - = d e O Q - = r . s e n   θ , então teremos:

R P - = d + r . s e n   θ

Sendo assim, por fim:

r = e . R P -

r = e . d + r . s e n   θ

r 1 - e . s e n   θ = e d

∴ r = e d 1 - e . s e n   θ

C.Q.D.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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