Enunciado

Mostre que a equação de uma cônica que tem eixo principal ao longo do semi-eixo π 2 e de sua extensão, um foco na origem e cuja diretriz correspondente está acima do foco é

r = e d 1 + e sen ⁡ θ

Passo 1

Devemos lembrar que e é a excentricidade e vamos considerar e ≠ 1 , pois, se e = 1 , temos uma parábola tendo como ponto fixo seu foco e l   como reta fixa sua diretriz.

Quando a diretriz está à esquerda do foco, nós temos a equação r = e d 1 - e cos ⁡ θ   e a representação abaixo:

Para obter a equação de quando a diretriz está acima do foco, basta fazer uma rotação da cônica em 3 π 2   rad , ou seja, ao invés de θ , usar θ + 3 π 2 . Perceba que rotacionar por 3 π 2 equivale a rotacionar por π e depois por π 2 . Rotacionando por π nós conseguimos a equação de quando a diretriz está à direita e depois rotacionando por mais π 2 conseguimos uma cônica com diretriz acima do foco.

Sendo assim, ficamos com:

Rotação 3 π 2 :   r = e d 1 - e cos ⁡ θ + 3 π 2 = e d 1 - e cos ⁡ θ + π 2 + π = e d 1 - - e cos ⁡ θ + π 2 = e d 1 - - e sen ⁡ θ = e d 1 + e sen ⁡ θ

Ou seja,

r = e d 1 + e sen ⁡ θ

Como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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