Enunciado

50. Prove que a soma dos interceptos x   e   y de qualquer reta tangente à curva

x 1 / 2 + y 1 / 2 = k 1 / 2 é constante e igual a k

Passo 1

Neste caso devemos ter em mente que a reta tangente à curva num ponto (x0,y0) qualquer é dada pela seguinte expressão

a x - x 0 = y - y 0

Onde a é o coeficiente angular da reta tangente e pode ser obtido a partir da derivada da função dada. Para derivar a função, pode-se utilizar do conceito de derivação implícita que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice – versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a )  é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

1 2 x . d x d x + 1 2 y   . d y d x = 0    

d y d x =   - y 1 2 x 1 2

Passo 3

Então, a equação da reta tangente à curva num ponto qualquer (x0,y0) será

- y 0 1 2 x 0 1 2 . x - x 0 = y - y 0

- x x 0 1 2 + x 0 x 0 1 2 = y y 0 1 2 - y 0 y 0 1 2

x 0 x 0 1 2 + y 0 y 0 1 2 = y y 0 1 2 + x x 0 1 2 = x 0 1 2 + y 0 1 2 = k 1 2

Sabemos que a soma de dois interceptos qualquer é dada por

x 0 1 2 . k 1 2 + y 0 1 2 k 1 2 = x 0 1 2 + y 0 1 2 . k 1 2 = k 1 2 . k 1 2 = k

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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