Enunciado

Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.

17. x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z

Passo 1

Sabemos que a equação de uma esfera é do tipo x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2 ,   onde x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do centro dessa esfera e r é o raio dela. Então para mostrar que uma equação pertence a uma esfera, nós precisamos deixar ela com uma cara parecida com essa, rearranjando os termos, ficamos com:

x 2 - x + y 2 - y + z 2 - z = 0

Agora perceba que na equação que queremos chegar temos três termos ao quadrado, então podemos completar o quadrado para todas as variáveis:

x 2 - x + 1 4 - 1 4 + y 2 - y + 1 4 - 1 4 + z 2 - z + 1 4 - 1 4 = 0

x + 1 2 2 - 1 4 + y + 1 2 2 - 1 4 + z + 1 2 2 - 1 4 = 0

x + 1 2 2 + y + 1 2 2 + z + 1 2 2 = 3 4

Show! Agora podemos ver que nossa equação está bem parecida com a da esfera, também podemos concluir que seu centro é o ponto ( - 1 2 , - 1 2 , - 1 2 ) e seu raio vale 3 2

Resposta

C = - 1 2 , - 1 2 , - 1 2   ,   r = 3 2

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