Enunciado

Calcule a integral tripla.

∫ ∫ ∫ E y   d V , onde E é limitado pelos planos x = 0   ,   y = 0   ,   z = 0 e 2 x + 2 y + z = 4

Passo 1

Beleza, galera? Pra gente conseguir montar a integral bonitinho, precisamos saber qual será a intersecção do plano z = 0 com o plano 2 x + 2 y + z = 4 :

z = 0 = 4 - 2 x - 2 y

x + y = 2

y = 2 - x

Então já conseguimos escrever a integral dessa forma:

∫ ∫ ∫ E y d V = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 4 - 2 x - 2 y y   d z   d y   d x

Passo 2

Agora vamos efetivamente calcular a integral tripla:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 4 - 2 x - 2 y y   d z   d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x y z 0 4 - 2 x - 2 y d y   d x = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ( 4 y - 2 x y - 2 y 2 )   d y   d x = ∫ 0 2 2 y 2 - x y 2 - 2 y 3 3 0 2 - x d x = ∫ 0 2 2 - x 3 3   d x = - 2 - x 4 12 0 2 = 0 + 2 4 12 = 4 3

Resposta

4 3

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Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido limitado pelo cilindro x 2 + y 2 = 9 e pelos planos y + z = 5 e x = 1 .
Calcule a integral tripla ∭ E x d V Onde E é limitado pelo parabolóide x = 4 y 2 + 4 z 2 e pelo plano x = 4
Esboçar a região de integração e calcular as integrais:g) ∫ 0 2 ∫ 0 1 2 4 - x 2 ∫ 0 x 2 + 4 y 2 d z d y d x
Esboçar a região de integração e calcular as integrais:h) ∫ - 3 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 ∫ 4 x 2 + 4 y 2 - 9 3 x 2 + 3 y 2 d z d x d y
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada ∫ ∫ ∫ T d V Onde T é a região delimitada por x=y 2 ,y = x 2 ,z = 2 y ,z = - 2 y .