Enunciado

Sejam A, B e C vértices de um triângulo.

  1. Prove que, se m + n ≠ 0 , então existe um ponto x na reta AB tal que C X → seja paralelo a m C A → + n C B → . Exprima C X → em função de C A → , C B → ,   m ,   n .

Passo 1

Vamos começar mais uma?

Então apertem os cintos !!

Antes de qualquer coisa vamos desenhar isso daí:

Bom galerinha nós vamos assumir aqui que:

C X → = α C A → + β C B → ,             α + β = 1  

Agora nós vamos supor, sem perda de generalidade que:

α ,   β = k m ,   k n ,         s e n d o   q u e   k   ϵ   N *

Então C X → vai ficar como:

C X → = k m C A → + k n C B →

C X → = k ( m C A → + n C B → )

Ou seja:

C X →     | |   ( m C A → + n C B → )

Passo 2

Agora, com esse X nós vemos a formação de dois triângulos, certo?

Então, pela soma vetorial:

C A → + A X → = C X →

C B → + B X → = C X →

Multiplicando a primeira pelo termo m e a segunda pelo n:

m C A → + m A X → = m C X →

n C B → + n B X → = n C X →

E somando ambas as equações:

m C A → + n C B → + m A X → + n B X → = ( m + n ) C X →

Se o X é um ponto específico é necessário que ele obedeça sua razão de seção, logo:

A X → = r X B → ,           r = a b

Então:

X - A = B r - X r

1 + r X = A + B r

Isolando X:

X = 1 1 + r A + r 1 + r B

Substituindo r:

X = b a + b A + a a + b B

Se assumirmos que a ,   b = ( m ,   n ) obtemos a razão do Passo 1:

C X → = m m + n C A → + n m + n C B →

Portanto, o vetor C X →     | |   ( m C A → + n C B → ) e C X → = m m + n C A → + n m + n C B → !!

Legal ou não ?!

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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