Enunciado

Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.

18. 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 - 8 x + 16 y = 1

Passo 1

Sabemos que a equação de uma esfera é do tipo x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2 ,   onde x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do centro dessa esfera e r é o raio dela. Então para mostrar que uma equação pertence a uma esfera, nós precisamos deixar ela com uma cara parecida com essa, rearranjando os termos, ficamos com:

4 x 2 - 8 x + 4 y 2 + 16 y + 4 z 2 = 1

4 ( x 2 - 2 x + y 2 + 4 y + z 2 ) = 1

( x 2 - 2 x + y 2 + 4 y + z 2 ) = 1 / 4

Agora perceba que na equação que queremos chegar temos três termos ao quadrado, então podemos completar o quadrado:

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 + 4 y + 4 - 4 + z 2 = 1 / 4

( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + z 2 = 1 4 + 1 + 4

( x - 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + z 2 = 2 1 4

Show! Agora podemos ver que nossa equação está bem parecida com a da esfera, também podemos concluir que seu centro é o ponto ( 1 , - 2 , 0 ) e seu raio vale 21 2

Resposta

C = 1 , - 2 , 0   ,   r = 21 2

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