Enunciado

  1. Mostre que, se f for diferenciável no intervalo ( - ∞ , ∞ ) e se os gráficos de y = f ( x ) e de y = f ' ( x ) estiverem no mesmo sistema de coordenadas, então entre qualquer par de f há pelo menos um de f ' .
  2. Dê alguns exemplos que ilustrem isso.

Passo 1

(a) Isso é um jeito complicadinho de enunciar o Teorema de Rolle. O que o enunciado quer dizer é que se temos a função e sua derivada em um gráfico só, e houver um par de pontos onde a função passar pelo eixo x , entre esse par de pontos, o gráfico da derivada vai passar pelo eixo x .

Ou seja, você está lá com f ( x ) e f ' ( x ) no mesmo gráfico. Aí você vê que para x = a e x = b (uma par de pontos), o gráfico de f x corta o eixo x :

f a = 0 ,   f b = 0

O Teorema de Rolle diz que se isso acontece, há pelos menos um ponto x = c , entre esses pontos, onde f ' c = 0 . Ou seja, entre esse par de pontos, o gráfico da nossa derivada passa pelo menos uma vez pelo eixo x .

Passo 2

(b) Um exemplo é a função f x = s e n   x .

Repara que ela zera para valores de x = n π , sendo n valores inteiros tipo - 1,0 , 1,2 , 3 e assim vai.

Já quando olhamos a sua derivada:

f ' x = cos ⁡ x

Vemos que ela zera para x = n π + π 2 . Só que isso sempre vai acontecer entre π ( n + 1 ) e n π , uma par de valores onde a função zera.

Resposta

a   prova nos passos

b f x = s e n   x (descrição nos passos)

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Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio: f x = x x + 2 ,[ 1,4 ]
Mostre que sen ⁡ xx se 0x2 π .
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(f) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(b) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(i) f