Enunciado

Mostre que sen x < x se 0 < x < 2 pi .

Passo 1

Vamos fazer f (x) = sen x , e sabemos que essa função é contínua e diferenciável em R .

Agora vamos dizer que a é um número que satisfaz 0 < a < 2 pi .

Pronto, temos que f é contínua em (0 , a) e diferenciável em (0 , a) .

Passo 2

Agora vamos aplicar o Teorema do Valor Médio, que diz que existe um número c em (0 , a) tal que:

f (a) - f (0) = f^' (c) (a - 0)

Vamos achar f (a) , f (0) e f^' (c) e substituir na expressão:

f (a) = sen a

f (0) = sen 0 = 0

f^' (c) = cos c

Pronto, agora substituindo:

f (a) - f (0) = f^' (c) (a - 0) -> sen a - 0 = cos c (a - 0) -> cos c = (sen a)/(a)

Vamos analisar cos c , sabemos que:

cos c < 1 se 0 < c < 2 pi

Vamos então substituir a expressão de cima na que achamos:

cos c < 1 -> (sen a)/(a) < 1 -> sen a < 1 * a -> sen a < a

Lá no começo nós dissemos que a é um número que satifaz 0 < a < 2 pi , pronto, então temos que sen x < x para todo x satisfaz 0 < x < 2 pi .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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