Mostre que sen(x) < x se 0 < x < 2pi .

Passo 1

Vamos fazer f x = sen ⁡ x , e sabemos que essa função é contínua e diferenciável em R .

Agora vamos dizer que a é um número que satisfaz 0 < a < 2 π .

Pronto, temos que f é contínua em 0 , a e diferenciável em 0 , a .

Passo 2

Agora vamos aplicar o Teorema do Valor Médio, que diz que existe um número c em 0 , a tal que:

f a - f 0 = f ' c a - 0

Vamos achar f a , f 0 e f ' c e substituir na expressão:

f a = sen ⁡ a

f 0 = sen ⁡ 0 = 0

f ' c = cos ⁡ c

Pronto, agora substituindo:

f a - f 0 = f ' c a - 0 → sen ⁡ a - 0 = cos ⁡ c a - 0 → cos ⁡ c = sen ⁡ a a

Vamos analisar cos ⁡ c , sabemos que:

cos ⁡ c < 1 se 0 < c < 2 π

Vamos então substituir a expressão de cima na que achamos:

cos ⁡ c < 1 → sen ⁡ a a < 1 → sen ⁡ a < 1 ⋅ a → sen ⁡ a < a

Lá no começo nós dissemos que a é um número que satifaz 0 < a < 2 π , pronto, então temos que sen ⁡ x < x para todo x satisfaz 0 < x < 2 π .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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