Enunciado

Reveja as Fórmulas (8) e (9) da Seção 2.1 e use o Teorema de Valor Médio para mostrar que, se f for diferenciável em ( - ∞ ,   +   ∞ ) , então em qualquer intervalo [ x 0 , x 1 ] há pelo menos um ponto em ( x 0 , x 1 ) no qual a taxa de variação instantânea de y em relação a x é igual à taxa de variação média, no mesmo intervalo.

Passo 1

Vamos voltar lá na seção 2.1 e ver que a taxa de variação média no intervalo [ x 0 , x 1 ] tem essa carinha:

r m = f x 1 - f x 0 x 1 - x 0

E a taxa de variação instantânea de y = f ( x ) em relação a x :

r i = lim x 1 → x 0 ⁡ f x 1 - f x 0 x 1 - x 0

A ideia aqui é igualar essas duas expressões e ver se a relação que a gente achar faz algum sentido. Vamos lá!

Passo 2

De cara, a gente pode reparar que r i a definção de f ' ( x ) .

Se igualarmos as duas expressões:

r i = r m

f ' x = f x 1 - f x 0 x 1 - x 0

E isso é exatamente o que o Teorema de Valor Médio diz: existe um valor de x no intervalo ( x 0 , x 1 ) tal que a derivada da função nesse valor é igual a inclinação da reta que passa pelos pontos ( x 0 , f x 0 ) e ( x 1 , f x 1 ) , que tem essa carinha:

m = f x 1 - f x 0 x 1 - x 0

Então pelo Teorema do Valor Médio a gente prova que isso é verdade.

Podemos até pensar naquele exemplo de que existe um ponto onde a velocidade média de um carro em um trecho é igual a velocidade instântane dele, e esse ponto fica dentro desse trecho.

Resposta

  prova nos passos

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Desenhe o gráfico da função definida em [0, 8] que tenha f 0 = 1 e f 8 = 4 e que a função não satisfaça à conclusão do teorema do valor médio em [0, 8].
Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão. f x = 2 x 2 - 4 x + 5 , - 1 ,3
Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão. f x = s e n x 2 , π 2 ,3 π 2
O gráfico de uma função f é mostrado. Verifique se f satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [0,8]. Então, estime os valores de c que satisfazem a conclusão do Teorema nesse intervalo.
Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão. f x = x + 1 x , 1 2 ,2