Enunciado

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Mostre que a função y = A e - x + B x e - x satisfaz a equação diferencial y ' ' + 2 y ' + y = 0 .

Passo 1

O enunciado nos da uma função y e pede para mostrarmos que ela satisfaz uma equação que envolve y , sua primeira derivada e sua segunda derivada. Assim, devemos derivar y duas vezes, substituir y , y ' e y ' ' na equação e verificar se ela é satisfeita.

Passo 2

Vamos achar y ' :

y ' = A e - x ⋅ - 1 + B ⋅ 1 ⋅ e - x + B x ⋅ e - x ⋅ ( - 1 )

y ' = B - A e - x - B x e - x

Passo 3

Agora vamos derivar y ' para encontra y ' ' :

y ' ' = B - A e - x ⋅ - 1 - B ⋅ 1 ⋅ e - x - B x ⋅ e - x ⋅ - 1

y ' ' = A - 2 B e - x + B x e - x

Passo 4

Agora vamos substituir y e suas derivadas na expressão y ' ' + 2 y ' + y e ver se ela se anula:

y ' ' + 2 y ' + y = A - 2 B e - x + B x e - x + 2 B - A e - x - 2 B x e - x + A e - x + B x e - x  

y ' ' + 2 y ' + y = A - 2 B + 2 B - 2 A + A e - x + B - 2 B + B x e - x = 0

Vemos então que de fato y ' ' + 2 y ' + y = 0 .

Resposta

Demonstração.

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