Dados y = f(u) e u = g(x) , determine dy/dx = f'(g(x)) \* g'(x)

y = 6u - 9

u = (1 / 2) \* x^4

Passo 1

Esta é uma boa questão inicial sobre regra da cadeia, visto que já nos foi dado as funções separadas, isto é, f ( u ) e g ( x ) . Desta forma, para obtermos a derivada da função composta ( f ∘ g ) ( x ) , podemos derivar separadamente cada uma das funções. Só depois de obtermos as duas derivadas, podemos fazer a composição de funções f ' g x e a sua multiplicação por g ' ( x ) . Vamos começar então pela obtenção de cada uma das derivadas!

Passo 2

Vamos determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' ( u ) = ( 6 u - 9 ) '

y ' = 6

Passo 3

Vamos determinar agora a derivada da função g ( x ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' x = 1 2 x 2 '

g ' x = 1 2 [ x 4 ] '

g ' x = 1 2 ⋅ 4 x 3 = 2 x 3

Passo 4

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( x ) , isto é, obter f ' g x . Para isto, observe que a função f ' ( u ) é uma função constante. Podemos visualizar ela da seguinte forma:

f ' u = 6 + 0 ⋅ h u

Desta forma, ao fazermos a composição, temos:

f ' g ( x ) ) = 6 + 0 ⋅ h g ( x ) = 6

Portanto,

f ' g ( x ) ) = 6

Passo 5

O que nos falta é multiplicar f ' g x por g ' ( x ) para obtermos a derivada d y / d x . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d y d x = 6 ⋅ 2 x 3 = 12 x 3

Resposta

d y d x = 12 x 3

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