Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = 20 x^3 - 3 x^5

Passo 1

Vamos usarmos o roteiro de esboço de curvas dado na seção para esboçar o gráfico da função dada. Precisamos achar a primeira e segunda derivada para analisar crescimento e concavidade, procurar as interseções com eixos, etc...

Passo 2

Como se trata de um polinômio, o domínio é real: D_f = R .

Passo 3

Vamos achar as interseções com os eixos x e y . Para o ponto que corta o eixo y , basta tomar x = 0 , assim, y = 0 . Vemos então que a curva passa pela origem ( 0,0 ) . Para as interseções com o eixo x , fazemos y = 0 , assim

20 x^3 - 3 x^5 = 0

x^3 ( 20 - 3 x^2 ) = 0

Assim, as raízes são x = 0 , x = +- sqrt(20 // 3) . As interseções com os eixos são (0,0) e ( +- sqrt(20 // 3) , 0 ) .

Passo 4

Note que y tem apenas expoentes ímpares de x , assim ela é ímpar, sendo simétrica com relação a origem.

Passo 5

Como se trata de um polinômio, y não tem assíntotas:

underset(x -> - oo)(lim) 20 x^3 - 3 x^5 = + oo

underset(x -> oo)(lim) 20 x^3 - 3 x^5 = - oo

Passo 6

Para estudarmos os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos derivar y :

y^' = 60 x^2 - 15 x^4 = 15 x^2 (4 - x^2) = 15 x^2 (2 - x) ( 2 + x )

Como x^2 >= 0 , temos que

Assim, x = 0 é ponto crítico porém não é extremo local. Por outro lado, x = - 2 é mínimo local e x = 2 é máximo local.

Passo 7

Para a concavidade, precisamos da segunda derivada:

y^(' ') = 120 x - 60 x^3 = 60 x ( 2 - x^2 )

Assim,

Resposta

Esboço da curva:

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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