Enunciado

  1. Mostre que a função f x , y = x y 3 é contínua e suas derivadas parciais f x e f y existem na origem, mas as derivadas direcionais em todas as outras direções não existem.
  2. Traçe o gráfico de f perto da origem e comente como ele confirma a parte (a).

Passo 1

(a) Podemos analisar a continuidade da função pelo seu domínio, neste caso, o domínio de f é todo o R 2 , e não existe nenhum ponto onde a função não está definida, portanto podemos dizer que ela é contínua em todo o seu domínio.

Calculando as derivadas parciais na origem

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f 0,0 h

= lim h → 0 ⁡ h ⋅ 0 3 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

Agora em relação a y

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 , h - f 0,0 h

= lim h → 0 ⁡ 0 ⋅ h 3 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

Passo 2

Agora se tivermos uma direção unitária u = ( a , b ) qualquer, temos que a derivada direcional é

D u f 0,0 = lim h → 0 ⁡ f a h , b h - f 0,0 h

= lim h → 0 ⁡ a h ⋅ b h 3 - 0 h = lim h → 0 ⁡ h 2 / 3 ⋅ a b 3 h

= lim h → 0 ⁡ a b 3 h 1 / 3 = ± ∞

O limite varia entre mais ou menos infinito, dependendo de qual lado a gente se aproxima de h , então a derivada direcional não existe.

Passo 3

(b) O gráfico de f :

Podemos perceber o comportamento que calculamos nos limites, para as derivadas direcionais, próximo da origem temos que a função cresce, ou diminui a uma taxa muito elevada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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