Enunciado

Se c in V_n , mostre que a função f dada por f (x) = c * x é contínua em R^n .

Passo 1

Vamos considerar ϵ > 0 arbitrário. Nós precisamos encontrar delta > 0 tal que |f (x) - f (a)| < ϵ sempre que |x - a| < delta . Vamos desenvolver a expressão:

|f (x) - f (a)| = |c * x - c * a| = |c * (x - a)| <= |c| |x - a|

Passo 2

Agora, façamos delta = (ϵ)/(|c|) . Então, sempre que 0 < | x - a | < delta , teremos:

|f (x) - f (a)| <= |c| |x - a| <= |c| delta = |c| (ϵ)/(|c|) = ϵ

Portanto, pela definição de limite, chegamos a:

underset(x -> a)(lim) f (x) = f (a)

Ou seja, a função f (x) = c * x é contínua em R^n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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