Enunciado

Mostre que função r θ = tg ⁡ θ - c o t g   θ - θ , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (0, π 2 ).

Passo 1

Queremos provar que no intervalo dado existe apenas uma raiz para a função r ( θ ) . Para isso, analisaremos a derivada da nossa função de tal forma que se ela não for igual a 0 no intervalo dado e conseguirmos encontrar 2 valores para r ( θ ) de tal forma que um seja maior e o outro seja menor que 0, além disso, a nossa função estar crescendo no intervalo, conseguiremos provar que existe apenas uma raiz no intervalo em análise

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função r θ = t g θ - c o t g θ - θ :

r ' θ = sec 2 ⁡ θ - - c o s s e c 2 θ - θ

r ' θ = sec 2 ⁡ θ + c o s s e c 2 θ - θ

Passo 3

Percebemos que r ' é sempre maior do que 0 em ( 0 , π 2   ) , devido e as funções trigonométricas serem diferentes de 0 e, crescentes, nesse intervalo, a derivada da função sendo maior que 0 no intervalo implica que a nossa função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Portanto, para concluirmos o problema, resta- nos encontrar um valor para o qual a função seja positiva e um para que ela seja negativa, de tal forma que conseguiremos mostrar que existe uma raiz entre esses valores garantido pelo teorema do valor médio. Tomemos, por exemplo, os valores θ = π 4   e   θ = 1.5 que são valores próximos das extremidades do intervalo.

Para o primeiro valor temos:

r π 4 = t g π 4 - c o t g π 4 - π 4

r π 4 = 1 - 1 - π 4

r π 4 = - π 4 < 0

Para o segundo valor teremos:

r 1.5 = t g ( 1.5 ) - c o t g ( 1.5 ) - 1.5

r 1.5 ≈ 1255 - 0.0007 - 1.5

r 1.5 ≈ 125 3 > 0

∴ e x i s t e   a p e n a s   u m a   r a í z   d e n t r o   d e s s e   i n t e r v a l o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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