Enunciado

Demonstre que | c o s   x   -   1 |   < | x | para todos os valores de x. (Dica: considere f t =   c o s   t   e m   [ 0 ,   x ] .)

Passo 1

Queremos mostrar a desigualdade modular apresentada no exercício, para isso usaremos a dica dada no próprio exercício que é usar f x = cos ⁡ t e m   [ 0 , x ] , onde x é um número real. Das características das funções trigonométricas mais básicas sabemos que a função cos ⁡ x é contínua em [ 0 , x ] e diferenciável em ( 0 , x ) .

Passo 2

Sendo a derivada da função f ' x =   - s e n ( x ) , sendo assim a função f ( x ) satisfaz as condições do teorema do valor médio. Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

Passo 3

Nosso intervalo de análise é [ 0 , x ] , aplicando o teorema vamos ter

f x - f 0 x - 0 = f ' ( c )

f x - f 0 x - 0 = - s e n ( c )

c o s x - c o s 0 x - 0 =   - s e n ( c )

c o s x - 1 x =   - s e n c       ( i )

Passo 4

Lembrando que a função seno é limitada, podemos fazer

- 1 ≤ s e n c ≤ 1

- 1 ≤ - s e n c ≤ 1       ( i i )

Substituindo ( i ) em ( i i ) teremos

- 1 ≤ c o s x - 1 x ≤ 1

Aplicando a definição de módulo teremos

cos ⁡ x - 1 x ≤ 1

Como o módulo da divisão é a divisão dos módulos podemos fazer

cos ⁡ x - 1 x ≤ 1

| cos ⁡ x - 1 | ≤ | x |

Passo 5

Precisamos analisar os casos em que x > 0   o u   x < 0 . Se x > 0 ao passarmos o x multiplicando pro outro lado os sinais da desigualdade irão mudar

- 1 ≤ c o s x - 1 x ≤ 1

x ≤ cos ⁡ x - 1 ≤ - x

- - x ≤ cos ⁡ x - 1 ≤ - x = x

Passo 6

Para o caso em que x > 0 nós teremos

- x ≤ cos ⁡ x - 1 ≤ x

Aplicando a função modular podemos concluir que

cos ⁡ x - 1 ≤ | x |

Passo 7

Em ambos os casos obtivemos c o s x –   1 ≤ | x | . Por fim, precisaremos analisar o caso x = 0 e obteremos

cos ⁡ 0 - 1 ≤ | 0 |

1 - 1 ≤ | 0 |

0 ≤ | 0 |

O que também é válido.

Passo 8

Por fim, como a desigualdade foi válida para x > 0 ,   x < 0   e   x = 0 podemos concluir que a desigualdade

c o s x –   1 ≤ x

É válida para todo x.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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