Enunciado

Suponha que f " seja contínua em [ a ,   b ] e que   f   tenha três raízes no intervalo. Mostre que   f " tem pelo menos uma raiz em ( a ,   b ) . Generalize esse resultado.

Passo 1

Bom, do enunciado temos que f ” é continua e, portanto, diferenciável no intervalo [ a ,   b ] . Sendo assim, podemos inferir que tanto f   quanto f ’ são também continuas e diferenciáveis no mesmo intervalo. Além disso, o enunciado nos dá que   f possui 3 raízes dentro desse intervalo que chamaremos: r 1 ,   r 2   e   r 3 .Após essa análise das informações dadas no enunciado, podemos partir para o que de fato ele quer que é provar que f ” tem, no mínimo, uma raiz dentro desse intervalo e ,depois, ele nos pede para generalizar esse resultado que vamos obter.

Passo 2

Para mostrarmos o que o enunciado pede precisaremos utilizar o Teorema de Rolle que nos diz que quando uma função é continua em um intervalo [ a ,   b ] qualquer e tendo f ( a )   =   f ( b )   nós vamos ter que existe um número C dentro desse intervalo tal que f ’ ( c )   =   0 . Analisando as condições do nosso teorema percebemos que se f possui 3 raízes as quais chamamos de r 1 ,   r 2 ,   e   r 3 , então,   f ( r 1 )   =   f ( r 2 )   =   f ( r 3 )   = 0 . Sendo assim, pelo teorema de Rolle podemos afirmar que existe um número c1 entre r 1   e   r 2 tal que f ’ ( c 1 )   =   0 e, ainda, que existe um número c 2 entre r 2   e   r 3 , tal que f ’ ( c 2 )   =   0 .

Passo 3

Feito isso, agora nós temos uma função f ’ ( x ) que é contínua dentro do intervalo dado no problema e que apresenta 2 raízes nesse intervalo. Dessa forma, podemos aplicar novamente o Teorema de Rolle obtendo o seguinte:

Sendo f ’ ( c 1 )   =   f ’ ( c 2 )   =   0 e a nossa função f ’ ( x ) sendo contínua, podemos afirmar que existe um número c 3 entre c 1 e c 2 tal que f ” ( c 3 ) = 0 . Lembrando que quando um número aplicado em uma função tem como resultado 0, esse número é raiz da nossa função e , assim, concluímos a primeira parte do nosso problema.

Passo 4

Por fim, resta – nos generalizar o problema o que agora fica bem mais simples e pode ser feito da seguinte forma: Dado uma função f ( x ) que apresenta n + 1 zeros ( raízes) se tivermos umas função f n ( x ) continua dentro de um intervalo [ a ,   b ] ,então , f n ( x ) tem pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Assim como fizemos para provar as regras do produto e da potenciação para logaritmos, use o argumento da mesma derivada para provar a regra do quociente.
Use a desigualdade min ⁡ f ' ≤f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f ' para estimar f ( 0,1 ) se f ' x = 1 1 - x 4 para 0 ≤ x ≤ 0.1 e f 0 = 2 .
Seja f derivável em todo valor de x , e suponha que f ( 1 )=1 , que f'0 em ( - ∞ ,1 ) e que f'0 em ( 1 ,∞ ) . A. Mostre que f x ≥1 para todo x . B. f ' 1 = 0 , necessariamente? Explique.
Use a desigualdade min ⁡ f ' ≤f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f ' para estimar f ( 0,1 ) se f ' x = 1 1 + x 4 cos 4 ⁡ x para 0 ≤ x ≤ 0.1 e f 0 = 1 .
Suponha que 0 f' ( x )1 / 2 para todos os valores de x. Mostre que f ( -1 )f ( 1 )2+f ( -1 )