Enunciado

Mostre que a função y = e 2 x ( A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x ) satisfaz a equação diferencial y ' ' - 4 y ' + 13 y = 0 .

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que mostremos que a função:

y = e 2 x ( A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x )

Satisfaz a equação diferencial:

y ' ' - 4 y ' + 13 y = 0

Para isso, é preciso calcular y ’ (primeira derivada de y ) e y ’ ’ (segunda derivada de y ), ambas em relação a x .

Em seguida, devemos substituir os resultados na equação diferencial.

Para o cálculo das derivadas que vamos mostrar adiandte, utilizaremos a regra do produto, que é dada abaixo:

Seja u e v duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:

u * v ' = u v ' + u ' v

També precisaremos utilizar a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de y em relação a x pode ser expressa da seguinte forma:

d y d x = d y d u . d u d x

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Temos que:

y = e 2 x ( A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x )

Derivando:

y ' = e 2 x ∙ - 3 A   s e n   3 x + 3 B cos ⁡ 3 x + A   c o s   3 x + B sen ⁡ 3 x ∙ 2 e 2 x

Simplificando

y ' = e 2 x   ∙ - 3 A   s e x   3 x + 3 B cos ⁡ 3 x + 2 A cos ⁡ 3 x + 2 B   s e n   3 x ∴

y ' = e 2 x ∙ 2 A + 3 B cos ⁡ 3 x + 2 B - 3 A   s e n   3 x

Passo 3

Agora vamos achar a segunda derivada,

y ' ' = e 2 x ∙ - 3 2 A + 3 B   s e n   3 x + 3 2 B - 3 A cos ⁡ 3 x + 2 A + 3 B cos ⁡ 3 x + 2 B - 3 A   s e n   3 x ∙ 2 e 2 x  

Simplificando:

y ' ' = e 2 x   ∙ { - 3 2 A + 3 B + 2 2 B - 3 A s e n   3 x + 3 2 B - 3 A + 2 2 A + 3 B cos ⁡ 3 x }

y ' ' = e 2 x   ∙ [ - 12 A - 5 B   s e n   3 x + - 5 A + 12 B cos ⁡ 3 x ]

Passo 4

Substituindo y ’ e   y ’ ’   na equação diferencial y ' ' - 4 y ' + 13 y = 0 :

y ' ' - 4 y ' + 13 y = e 2 x   ∙ - 12 A - 5 B   s e n   3 x + - 5 A + 12 B cos ⁡ 3 x - 4 e 2 x ∙ 2 A + 3 B cos ⁡ 3 x + 2 B - 3 A   s e n   3 x + 13 e 2 x ∙ ( A cos ⁡ 3 x + B sen ⁡ 3 x ) ∴

= e 2 x ∙ [ - 12 A - 5 B - 8 B + 12 A + 13 B   s e n   3 x + - 5 A + 12 B - 8 A - 12 B + 13 A cos ⁡ 3 x ∴

= e 2 x ∙ [ 0   s e n   3 x + 0 cos ⁡ 3 x ] = 0

Assim, podemos concluir que, ao substiruir a derivadas de primeira e segunda ordem da função de y na equação diferencial, obtemos o resultado igual a zero, mostrando que a função de y satisfaz a equação diferencial.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Ao substituir a derivadas de primeira e segunda ordem da função de y na equação diferencial, obtemos o resultado igual a zero, mostrando que a função de y satisfaz a equação diferencial.

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