Enunciado

Seja r (x) = f ( g (h (x)) ) onde h (1) = 2 , g (2) = 3 , h^' (1) = 4 , g^' (2) = 5 e f^' (3) = 6 . Encontre r ' ( 1 ) .

Passo 1

O enunciado fornece uma função r que é uma composta tripla de três outras funções f , g e h . Além disso, são fornecidas informações dessas funções em alguns pontos e pede-se a derivada de r em x = 1 . Devemos então aplicar a regra da cadeia, substituir x = 1 e então torcer para que as informações sejam suficientes para chegarmos numa resposta.

*Lembrando que na regra da cadeia se deriva primeiro a função de fora e por último a de dentro!!!

Passo 2

Vamos derivar r usando a regra da cadeia:

r^' (x) = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h ' ( x )

Passo 3

Na expressão encontrada no passo 2, trocamos x = 1 :

r^' (1) = f^' (g (h (1))) * g^' (h (1)) * h ' ( 1 )

Já sabemos que h^' (1) = 4 . Calculemos g^' (h (1)) :

g^' (h (1)) = g^' (2) = 5

Calculemos agora f^' (g (h (1))) :

f^' (g (h (1))) = f^' (g (2)) = f^' (3) = 6

Substituindo estes valores na expressão para r ' ( 1 ) :

r^' (1) = 6 * 5 * 4 = 120

Resposta

r^' (1) = 120

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