Enunciado

Determine uma região cuja área seja igual ao limite dado. Não calcule o limite.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n 5 + 2 i n 10

Passo 1

Faaala ae!! Belezinha??? Bom... queremos determinar a região cuja área seja igual ao seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n 5 + 2 i n 10

Beleza?? Mas lembre-se que aqui a gente não deve calcular o limite!!

Para isso, devemos saber que a área A de abaixo da curva de uma função f x pode ser dada por:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x

Onde a largura do subintervalo Δ x é dada por:

Δ x = b - a n

Em que a e b são os limites do intervalo e n é o número de subtintervalos!!

Assim, percebemos a princípio que nossa função tem a seguinte cara:

f x i = 5 + x i 10

Dessa forma, precisamos descobrir quem é x i e Δ x .

Bora lá?? 😉

Passo 2

Comparando, podemos perceber que aquele termo isolado dentro do somatório corresponde a Δ x :

Δ x = 2 n

Assim, podemos dizer que:

∆ x = 2 - 0 n

Logo, podemos dizer que esse limite pode ser interpretado como a área da região sob o gráfico de y = 5 + x 10 no intervalo [ 0,2 ] .

Passo 3

Por fim, comparando novamente com o modelo, temos um x i que é dado por:

x i = 0 + i ∆ x = 2 i n

Assim, nossa expressão da área é:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x ∴

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 n 5 + 2 i n 10

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Região sob o gráfico de y = 5 + x 10 no intervalo [ 0,2 ]

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