Enunciado

Mostre que a função

g x = 2 x + 1 ,   s e     x < 1 - x + 4 ,   s e     x ≥ 1

Não é derivável em p = 1 . Esboce o gráfico de g .

Passo 1

Oi, galerinha! Para mostrar que a função não é derivável em p = 1 , vamos usar a definição de derivada:

g ' 1 = lim x → 1 ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

Bom, como aqui essa função é quebrada em x = 1 temos que calcular o limite pela esquerda e pela direita e verificar se eles são iguais. Caso os limites sejam diferentes, significa que a função não é derivável naquele ponto.

Passo 2

Começando pela esquerda. Fazemos o limite para quando x → 1 - :

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = 2 x + 1 - [ 2 1 + 1 ] x - 1 = 2 x - 2 x - 1

Agora simplificando ao máximo esse limite temos:

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = 2 ( x - 1 ) x - 1 = 2

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Passo 3

Agora fazemos o mesmo processo, mas para a direita. Quando x → 1 + :

lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = - x + 4 - [ - 1 + 4 ] x - 1 = - x + 1 x - 1

Agora simplificando ao máximo esse limite temos:

lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = - x - 1 x - 1 = - 1

Opa! Como temos valores diferentes para os limites bilaterais, então essa função não é derivável em x = 1 :

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 ≠ lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

Passo 4

Vamos ao esboço? Bora lá!

g x = 2 x + 1 ,   s e     x < 1 - x + 4 ,   s e     x ≥ 1

Primeiro vamos olhar para a reta g x = 2 x + 1 , para descobrir os pontos interessantes dessa reta vamos calcular g 0 e g x = 0 :

g 0 = 2 x + 1

g 0 = 1

2 x + 1 = 0

x = - 0,5

Agora escolhemos novos pontos e calculamos o g ( x ) :

Repara a escolha de x = 0,99999 já que para essa reta temos x < 1 , ou seja não incluindo o 1 , e como esperávamos g ( x ) tende a 3 a medida que nos aproximamos de x = 1 .

Agora vamos para a segunda função g x , aqui temos x ≥ 1 , vamos começar calculando esse ponto

g 1 = - 1 + 4 = 3

g ( x ) é igual a 3 como esperado. Agora vamos calcular g ( x ) = 0 , repara que não faz sentido calcular g ( 0 ) já que x ≥ 0 .

- x + 4 = 0

x = 4

Calculamos mais alguns pontos:

Agora é a hora de jogar os dados no gráfico:

Em azul temos a reta ( 2 x + 1 ) que é crescente e tem coeficiente angular igual a 2 . Em vermelho temos a reta ( - x + 4 ) que é decrescente e tem coeficiente angular igual a - 1 . Vemos que em x = 1 há um bico e justamente nesse ponto a função não é derivável.

Resposta

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 ≠ lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

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Nos exercícios de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço do gráfico da função; (b) determine se f é contínua em x 1 ; (c) calcule f ´ _ _ ( x 1 ) e f ´ + x 1 , se existirem, (d) determine se f é
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