Enunciado

Construa uma função f : R → R que seja contínua em R e que seja derivável em todos os pontos, exceto nos números inteiros.

Passo 1

Dos exercícios anteriores vimos que uma função derivável é aquela em que a função é suave, ou seja, aquela em que não apresenta um bico em seu esboço.

Uma função que é diferenciável em todo conjunto dos reais é a função f x = s e n ( π x ) , olha só:

Ela é bem comportada, toda diferenciável. Suave em todos os pontos: ou seja, não apresenta bicos.

Passo 2

Mas e como deixar esse gráfico com um bico? Ah! É aqui que entra a função modular! Lembra que a função módulo deixa tudo que é negativo positivo? Então! Em um gráfico isso não é diferente! Se agora fizermos f x = | s e n ( π x ) | , toda parte negativa passa a ser positiva e justamente nas raízes da função, ou seja

s e n π x = 0 ∴ π x = n π

x = n ,   n = … - 2 , - 1,0 , 1,2 …

Ela vai apresentar um bico, saca só:

Esses bicos representam os pontos onde a função não é diferenciável.

Ok?

Vamos pra próxima!

Resposta

f x = | s e n ( π x ) |

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