Enunciado

Seja

g x = x + 1 ,   s e     x < 1 - x + 3 ,   s e     x ≥ 1

a ) Esboce o gráfico de g .

b ) g é derivável em p = 1 ? Por quê? .

Passo 1

Antes de x = 1 temos que a função g é uma reta crescente de coeficiente angular igual a 1 (reta em azul). Para x ≥ 1 , a função toma a forma de uma reta decrescente de coeficiente angular - 1 (reta vermelha). Com a ajuda de um programa de geração de gráficos temos um esboço:

Em x = 1 a função apresenta um bico e isso nos indica que nesse ponto a função não é derivável. Ara confirmar, vamos usar a definição de derivada g ' p = lim x → p ⁡ g x - g ( p ) x - p

E fazer o teste para os limites bilaterais. Se ambos valores forem iguais, então a função é diferenciável. Caso contrário, não. Ok? Vamos lá?

Passo 2

Começando pela esquerda. Fazemos o limite para quando x → 1 - :

lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = x + 1 - [ 1 + 1 ] x - 1 = x - 1 x - 1

Agora simplificando ao máximo esse limite temos:

lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = x - 1 x - 1 = 1

Show! Agora fazemos o mesmo processo, mas para a direita. Quando x → 1 + :

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = - x + 3 - [ - 1 + 3 ] x - 1

Agora simplificando ao máximo esse limite temos:

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 = - 1

Opa! Como temos valores diferentes para os limites bilaterais, então essa função não é derivável em x = 1 :

lim x → 1 + ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1 ≠ lim x → 1 - ⁡ g x - g ( 1 ) x - 1

Resposta

b )   N ã o

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