Enunciado

Mostre que função r( θ ) = θ + sen ² ⁡ θ 3 - 8   , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (- , ).

Passo 1

Queremos provar que no intervalo dado existe apenas uma raiz para a função r ( θ ) . Para isso, analisaremos a derivada da nossa função de tal forma que se ela não for igual a 0 no intervalo dado e conseguirmos encontrar 2 valores para r ( θ ) de tal forma que um seja maior e o outro seja menor que 0, além disso, a nossa função estar crescendo no intervalo, conseguiremos provar que existe apenas uma raiz no intervalo em análise.

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a nossa função r θ = θ + s e n 2 θ 3 - 8 :

r ' θ = 1 + 2 3   s e n θ 3 * c o s ⁡ ( θ 3 )

Lembrando a seguinte relação trigonométrica: s e n   2 a = 2 s e n a * cos ⁡ a , podemos escrever r ' θ da seguinte forma:

r ' θ = 1 + 1 3   s e n 2 θ 3

Passo 3

Analisando r ' no intervalo dado percebemos que essa função é sempre maior do que 0 no intervalo dado, devido ao deslocamento da função seno por conta do 1 somando ali. Sendo assim, a derivada da função sendo maior que 0 no intervalo implica que a nossa função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Por fim, resta- nos encontrar valores para os quais a função seja positiva e negativa, de tal forma que conseguiremos mostrar que existe uma raiz entre esses valores garantido pelo teorema do valor médio. Tomemos, por exemplo, os valores θ = 0   e   θ = 8 .

Para o primeiro valor temos:

r 0 = 0 + s e n 2 0 3 - 8

r 0 = s e n 2 0 3 - 8

r 0 = - 8 < 0

Para o segundo valor temos:

r 8 = 8 + s e n 2 8 3 - 8

r 8 = s e n 2 8 3 > 0

∴ e x i s t e   a p e n a s   u m a   r a í z   d e n t r o   d e s s e   i n t e r v a l o .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f derivável em todo valor de x , e suponha que f ( 1 )=1 , que f'0 em ( - ∞ ,1 ) e que f'0 em ( 1 ,∞ ) . A. Mostre que f x ≥1 para todo x . B. f ' 1 = 0 , necessariamente? Explique.
Use a desigualdade min ⁡ f ' ≤f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f ' para estimar f ( 0,1 ) se f ' x = 1 1 + x 4 cos 4 ⁡ x para 0 ≤ x ≤ 0.1 e f 0 = 1 .
Suponha que 0 f' ( x )1 / 2 para todos os valores de x. Mostre que f ( -1 )f ( 1 )2+f ( -1 )
Demonstre que | c o sx-1 | | x | para todos os valores de x. (Dica: considere f t =c o ste m[ 0 ,x ] .)
Use o argumento da mesma derivada para provas as identidades t g - 1 x + c o t g - 1 x = π 2 sec - 1 ⁡ x + c o s s e c - 1 x = π 2