Use a desigualdade min f' <= (f(b) - f(a)) / (b - a) <= max f' para estimar f(0,1) se f'(x) = 1 / (1 + (x^4 \* cos^4(x))) para 0 <= x <= 0.1 e f(0) = 1 .

Passo 1

Utilizando a desigualdade apresentada queremos uma estimativa para f ( 0.1 ) , com a função f ' x e a condição inicial dada.

Passo 2

Para analisarmos o comportamento da função dentro do intervalo, vamos observar a segunda derivada que é

f ' ( x )   = ( 1 + x 4 cos 4 ⁡ x ) - 1

f " ( x )   = ( 1 + x 4 cos 4 ⁡ x ) - 2 ⋅ ( 4 x ³ ⋅ c o s ⁡   x + x 4 ⋅ s e n   x )  

Plotando o gráfico de f " ( x ) dentro do intervalo [ 0,0.1 ] temos

a função está decrescendo.

Passo 3

Como temos f " ( x ) decrescendo nesse intervalo nós podemos fazer estimativas para f ' x com os valores extremos do intervalo. Assim,

min ⁡ f ' ≈   0.999  

m ax ⁡ f ' ≈   1  

0 . 999 ≤ f 0.1 - f 0 0.1 ≤ 1

0.999 ≤ f 0.1 - 1 0.1 ≤ 1

0.999 ⋅ 0.1 ≤ f 0.1 - 1 ≤ 1 ⋅ 0.1

0.0999 ≤ f 0.1 - 1 ≤ 0 . 1

1.0999 ≤ f 0.1 ≤ 1 . 1

Resposta

∴ 1.0999 ≤ f 0.1 ≤ 1.1

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