Enunciado

73- Mostre que a função z = x e^y + y e^x é uma solução da equação:

(del^3 z)/(del x^3) + (del^3 z)/(del y^3) = x (del^3 z)/(del x del y^2) + y (del^3 z)/(del x^2 del y)

Passo 1

Para fazer essa questão nós devemos estar cientes que:

(del^3 z)/(del x^3) = z_x x x

Como se fosse a mesma coisa, assim como:

(del^3 z)/(del y^3) = z_y y y

(del^3 z)/(del x del y^2) = z_y y x

(del^3 z)/(del x^2 del y) = z_x x y

Então vamos fazer essas derivadas todas e verificar se a igualdade é válida.

Passo 2

Começando por z_x x x temos:

z_x = e^y + y e^x

z_x x = y e^x

z_x x x = y e^x

Agora avançando para z_y y y :

z_y = x e^y + e^x

z_y y = x e^y

z_y y y = x e^y

Logo:

(del^3 z)/(del x^3) + (del^3 z)/(del y^3) = z_x x x + z_y y y = y e^x + x e^y

Para a igualdade valer, o outro lado terá que ser igual a isso.

Passo 3

Para resolver z_y y x vamos a derivada de x de z_y y , isso é:

z_y y x = (del (z_y y))/(del x) = e^y

O mesmo raciocínio para resolver z_x x y , vamos derivar em y o resultado de z_x x :

z_x x y = (del ( z_x x ))/(del y) = e^x

Dessa forma:

x (del^3 z)/(del x del y^2) + y (del^3 z)/(del x^2 del y) = x z_y y x + y z_x x y = x (e^y) + y ( e^x )

O que é a mesmíssima coisa do que (del^3 z)/(del x^3) + (del^3 z)/(del y^3) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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