Enunciado

Mostre que função f(x) = x 3 + 4 x 2 + 7 , tem exatamente uma raiz no interior do intervalo (- , 0).

Passo 1

Haja vista que um polinômio de grau n pode apresentar n raízes reais queremos mostrar que no intervalo (- , 0) a função   f x dada tem exatamente uma raiz

Passo 2

Analisando a função f x = x 3 + 4 x 2 + 7 e testando alguns valores inteiros para tentar achar as raízes conseguimos verificar que -2 é raiz, da seguinte forma:

f - 2 = - 2 3 + 4 - 2 2 + 7

f - 2 = - 8 + 4 4 + 7

f - 2 = - 8 + 1 + 7

f - 2 = 0

∴   - 2   é   r a i z .

Passo 3

Pegando 2 valores próximos de -2 como -2,1 e -1,9 e aplicando na função vemos que f - 2,1 < 0   e   f - 1,9 > 0 . Sendo assim, pelo teorema do valor intermediário percebemos que existe uma raiz nesse intervalo e que já descobrimos no passo anterior que é o -2. Analisando graficamente a função observamos o seguinte:

f x > 0   se - 2 < x < 0 e que f x < 0 se x < - 2 . Sendo assim, garantimos que a função tem exatamente uma raiz apenas no intervalo dado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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