Enunciado

Mostre que o gráfico de x + y = 1 é um segmento de uma parábola por uma rotação de eixos de um ângulo cuja medida é π 4 . (Sugestão: elimine os radicais na equação antes de aplicar o Teorema 10.4.1.)

Passo 1

Galera, para rotacionarmos os eixos, devemos seguir o seguinte teorema, segundo o Leithold na seção 10.4:

“Se ( x ,   y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - ,   y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então:

i   x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

i i   x - = x . cos ⁡ α + y . s e n   α   e   y - = - x . s e n   α + y . cos ⁡ α "

Como o ângulo já nos foi dado, então facilita bastante nossa vida! Antes de iniciarmos a resolução de fato, vamos seguir a sugestão da questão e vamos tentar eliminar os radicais na equação que nos foi dada, ok? Se liga:

x + y = 1 ⇒ y = 1 - x

Elevando ambos os membros ao quadrado, teremos:

y = 1 - 2 x + x

x - y + 1 = 2 x

Elevando ambos os membros ao quadrado novamente, teremos:

x - y 2 + 2 . x - y + 1 = 4 x

Então está aí, eliminamos os radicais!

Passo 2

Das equações referentes à rotação dos eixos, teremos:

x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α   e   y = x - . s e n   α + y - . cos ⁡ α

x = 2 2 x - - 2 2 y -   e   y = 2 2 x - + 2 2 y -

Agora que encontramos as expressões para x e y pós rotação de eixos, vamos substituir os novos valores na equação que simplificamos no passo 1, se liga:

x - y 2 + 2 . x - y + 1 = 4 x

- 2 y - 2 + 2 . - 2 y - + 1 = 4 . 2 2 x - - 2 2 y -

y - 2 - 2 2 y - + 1 = 2 2 x - - 2 2 y -

y - 2 + 1 = 2 2 x -

y - 2 = 2 2 x - - 1 ⇒ y - 2 = 2 2 x - - 1 2 2

Fazendo x - ' = x - - 1 2 2 e y - ' = y - , teremos como resultado:

y - ' 2 = 2 2 x - '

Que, de fato, é um segmento de parábola, assim como o enunciado nos diz! No entanto, apenas uma parte dessa parábola satisfaz as condições do problema, que é apenas a parte entre ( 0,1 ) e 1,0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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