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Nos exercícios de 5 a 12, remova da equação dada o termo x y por uma rotação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.

7 .     x 2 + 2 x y + y 2 - 8 x + 8 y = 0

Passo 1

Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

  1. Se ( x , y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - , y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então:
  2. x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

  3. Se B ≠ 0 , a equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 pode ser transformada na equação A - x - 2 + B - y - 2 + C - x - + D - y - + F - = 0 onde A - e C - não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo α para o qual tan ⁡ 2 α = B A - C .

Nós temos a equação x 2 + 2 x y + y 2 - 8 x + 8 y = 0 e vamos remover o termo x y , então vamos utilizar a fórmula de (2).

tan ⁡ 2 α = 2 1 - 1 = ∞

Aqui já podemos peceber que o arco cuja tangente tende ao infinito é π 2 . Então 2 α = π 2 e α = π 4 .

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar sen ⁡ α e cos ⁡ α . Usaremos as relações:

cos ⁡ π 4 = 2 2                             sen ⁡ π 4 = 2 2                      

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

x = x - 2 2 - y - 2 2                         y = x - 2 2 + y - 2 2

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

x - 2 2 - y - 2 2 2 + 2 x - 2 2 - y - 2 2 x - 2 2 + y - 2 2 + x - 2 2 + y - 2 2 2 - 8 x - 2 2 - y - 2 2 + 8 x - 2 2 + y - 2 2 = 0

Simplificando essa expressão, nós obtemos a equação:

x - 2 + 4 2 y - = 0         →         y - = - x - 2 4 2

Que é a equação de uma parábola com vértice na origem e sem o termo x y .

Passo 4

Como cos ⁡ α = π 4 , então o ângulo de rotação foi aproximadamente α = 45 ° . Sendo assim, segue o esboço da parábola com o eixo OXY e os eixos rotacionados 45 ° .

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