Enunciado

Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.

15 .             17 x 2 - 12 x y + 8 y 2 - 68 x + 24 y - 12 = 0

Passo 1

Vamos começar efetuando uma rotação para eliminar o termo x y e depois a translação. Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

  1. Se ( x , y ) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e ( x - , y - ) for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então
  2. x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

  3. Se B ≠ 0 , a equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 pode ser transformada na equação A - x - 2 + B - y - 2 + C - x - + D - y - + F - = 0 onde A - e C - não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo α para o qual tan ⁡ 2 α = B A - C .

Nós temos a equação 17 x 2 - 12 x y + 8 y 2 - 68 x + 24 y - 12 = 0 e vamos remover o termo x y , então utilizaremos a fórmula de (2).

tan ⁡ 2 α = - 12 17 - 8 = - 12 9 = - 4 3

Passo 2

Agora para usar o fato 1 precisamos achar sen ⁡ α e cos ⁡ α . Usaremos as relações:

cos ⁡ α = 1 + cos ⁡ 2 α 2                             sen ⁡ α = 1 - cos ⁡ 2 α 2                         0 < α < π 2  

Queremos α ∈ 0 , π 2 , daí, como 0 < 2 α < π e tan ⁡ 2 α < 0 , então 2 α pertencerá ao segundo quadrante e com tan ⁡ 2 α = 4 - 3 , podemos montar o seguinte triângulo e achar as relações.

O b s : Se no triângulo imaginário acima a gente utilizasse - 4 , também faríamos uma rotação correta, porém α iria pertencer ao segundo quadrante e basicamente seria a rotação que vamos fazer mais um ângulo de 90 ° .

Com cos ⁡ 2 α = - 3 5 , temos:

cos ⁡ α = 1 - 3 5 2                             sen ⁡ α = 1 + 3 5 2

cos ⁡ α = 2 10 = 1 5                             sen ⁡ α = 8 10 = 2 5

Passo 3

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

x = x - cos ⁡ α - y - sen ⁡ α                         y = x - sen ⁡ α + y - cos ⁡ α

x = x - 1 5 - y - 2 5                         y = x - 2 5 + y - 1 5

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

17 x - 1 5 - y - 2 5 2 - 12 x - 1 5 - y - 2 5 x - 2 5 + y - 1 5 + 8 x - 2 5 + y - 1 5 2 - 68 x - 1 5 - y - 2 5 + 24 x - 2 5 + y - 1 5 - 12 = 0

Simplificando essa expressão efetuando as multiplicações, nós obtemos a equação:

5 x - 2 - 4 5 x - + 20 y - 2 + 32 5 y - - 12 = 0

Passo 4

Agora precisamos completar o quadrado para depois efetuar a translação.

5 x - 2 - 4 5 x - + 20 y - 2 + 32 5 y - - 12 = 0

5 x - 2 - 4 5 5 x - + 20 y - 2 - 32 5 20 y - = 12

5 x - 2 - 4 5 5 x - + 4 5 2 ⋅ 5 2 + 20 y - 2 - 32 5 20 y - + 32 5 2 ⋅ 20 2 = 12 + 5 4 5 2 ⋅ 5 2 + 20 32 5 2 ⋅ 20 2

5 x - - 2 5 5 2 + 20 y - - 4 5 5 2 = 12 + 5 2 5 5 2 + 20 4 5 5 2

5 x - - 2 5 5 2 + 20 y - - 4 5 5 2 = 12 + 5 4 ⋅ 5 25 + 20 16 ⋅ 5 25

5 x - - 2 5 5 2 + 20 y - - 4 5 5 2 = 12 + 4 + 320 5

5 x - - 2 5 5 2 + 20 y - - 4 5 5 2 = 400 5

5 x - - 2 5 5 2 + 20 y - - 4 5 5 2 = 80

5 80 x - - 2 5 2 + 20 80 y - - 4 5 2 = 1

x - - 2 5 2 16 + y - - 4 5 2 4 = 1

Temos então uma equação reduzida de elipse.

Faremos agora a translação de eixos para o centro da elipse que é C = 2 5 , 4 5 . Lembre-se que esse centro se refere ao sistema de coordenadas O x - y - .

x - = x - ' + 2 5                       y - = y - ' + 4 5  

Ficamos com a equação:

x - ' 2 16 + y - ' 2 4 = 1

Essa é a equação de uma elipse na sua forma mais reduzida com origem no sistema O X - ' Y - ' .

Passo 5

Como cos ⁡ α = 1 5 , então o ângulo de rotação foi de aproximadamente α ≈ 63 . 4 ° . Sendo assim, segue o esboço da elipse com os eixos O X Y , os eixos O X - Y -   rotacionados ≈ 63 . 4 ° e os eixos transladados O ' X - ' Y ' - .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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