Enunciado

Mostre que, se uma partícula se move com velocidade escalar constante, então os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.

Passo 1

Olá, tudo bem? Digamos que a partícula tenha uma função posição em função do tempo as seguinte forma:

r → t = c o s θ i → + s e n θ j →

De modo que sua velocidade vetorial seja:

d r → ( t ) d t = v → = - s e n θ i → + c o s θ j →

E que seja de módulo constante:

v → = - s e n θ 2 + c o s θ 2 = 1

Assim temos uma partícula que se move com velocidade escalar constante, ou seja, com seu módulo constante.

Passo 2

Agora vamos determinar o vetor aceleração. Lembrando que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos resgatar a expressão da velocidade ali em cima do passo 1 :

a → = d v → ( t ) d t = - c o s θ i → + - s e n θ j →

Certo! Agora já temos os vetores velocidade e aceleração.

Agora uma pergunta: como mostrar que esses vetores são ortogonais?

Você deve se lembrar lá da parte de vetores que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Bom, é isso que vou fazer!

Passo 3

Com o vetor velocidade v → = - s e n θ i → + c o s θ j → e aceleração a → = - c o s θ i → + - s e n θ j → podemos fazer o produto escalar.

Relembrando que produto escalar entre dois vetores a → e b → arbitrários é:

a → ⋅ b → = a x b x + a y b y

Aplicando isso nos nossos vetores temos:

v → ⋅ a → = - s e n θ . - c o s θ + c o s θ . - s e n θ

v → ⋅ a → = s e n θ c o s θ - s e n θ c o s θ = 0

v → ⋅ a → = 0

Ok! Mostramos que esses vetores são ortogonais entre si =D

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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