Enunciado

Um rifle é disparado com um ângulo de 36 ° . Qual é a velocidade inicial se a altura máxima do projétil é de 1600ft?

Passo 1

Sabemos que no eixo x, a equação horária é:

Δ x = v o x ⋅ t

E em y é:

Δ y = v o y ⋅ t - 1 2 g t 2

Fazendo com que o projétil esteja na origem em t=0, temos x 0 = 0 e y 0 = 0 .

Foi nos dado que:

θ = 36 °                     y m á x   = 1600 f t

Passo 2

Podemos decompor a velocidade inicial em 2 componentes, uma no eixo x e outra no eixo y. Temos:

v o x = v ⋅ c o s ⁡ ( 36 )

v o y = v ⋅ s e n ⁡ ( 36 )

Dessa forma, aplicando nas equações horárias temos:

x = v ⋅ c o s ⁡ ( 36 ) ⋅ t

y = v s e n 36 ⋅ t - 1 2 g t 2

Passo 3

Derivando y em relação ao tempo, para encontrar a equação da velocidade em y, temos:

d y d t = v s e n 36 - g t  

No ponto mais alto, a velocidade em y é nula logo:

d y d t = 0 → t = v s e n ( 36 ) g

Substituindo essa expressão de t na equação horária de y temos:

y = v s e n 36 ⋅ v s e n 36 g - 1 2 g v s e n 36 g 2

Organizando a expressão, agrupando termos semelhantes temos:

y = v 2 s e n 2 ( 36 ) g - 1 2 v 2 s e n 2 ( 36 ) g = v 2 s e n 2 ( 36 ) 2 g

Antes de aplicar os dados na equação, temos que nos atentar à unidade utilizada.

1 m = 3,28 f t

1600 f t = 1600 3,28 m = 487,8 m

Passo 4

Depois de convertido o valor de y, podemos aplicar na equação:

487,8 = v 2 s e n 2 ( 36 ) 2 g

Isolando v, temos:

v = 2 ⋅ 487,8 ⋅ g s e n 2 ( 36 ) = 166,35 m s    

Convertendo em ft/s temos:

v = 166,35   ⋅ 3,28 = 544 f t

Resposta

A velocidade inicial do projétil é v = 544 f t

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