Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 62
Mostre que as pirâmides cortadas do primeiro octanto por qualquer plano tangente à superfície em pontos do primeiro octante têm o mesmo volume.
Passo 1
O problema fornece a superfície e pede para provarmos que as pirâmides formadas pelas intereseções com os eixos dos planos tangentes à superfície em qualquer ponto têm sempre o mesmo volume. Assim, nosso primeiro passo deve ser achar a equação do plano tangente à superfície em .
Para isso, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível da seguinte função função de três variáveis:
Como o gradiente é ortogonal as superfícies de nível, ele será o vetor normal do plano tangente:
No ponto temos
Passo 2
A equação do plano tangente no ponto será
Portanto,
Agora vamos procurar as interseções desse plano com os eixos. Fazendo :
Logo,
Analogamente para as demais interseções:
Passo 3
O volume da pirâmide será:
A área da base será a área do triângulo retângulo no plano :
Já a altura estará no eixo :
Assim,
Desta forma, como , e :
Por fim, como o ponto deve pertencer à superfície , ele deve satisfazer sua equação:
Portanto,
Vemos que todas as pirâmides têm sempre o mesmo volume!
Resposta
Demonstração.