Enunciado

Mostre que as pirâmides cortadas do primeiro octanto por qualquer plano tangente à superfície x y z = 1 em pontos do primeiro octante têm o mesmo volume.

Passo 1

O problema fornece a superfície x y z = 1 e pede para provarmos que as pirâmides formadas pelas intereseções com os eixos dos planos tangentes à superfície em qualquer ponto têm sempre o mesmo volume. Assim, nosso primeiro passo deve ser achar a equação do plano tangente à superfície em ( a ,   b ,   c ) .

Para isso, vamos olhar para a superfície como sendo a superfície de nível 0 da seguinte função função de três variáveis:

f x , y , z = x y z - 1

Como o gradiente é ortogonal as superfícies de nível, ele será o vetor normal do plano tangente:

∇ f x , y , z = y z ,   x z ,   x y

No ponto ( a ,   b ,   c ) temos

∇ f a , b , c = b c , a c ,   a b

Passo 2

A equação do plano tangente no ponto ( a , b , c ) será

x - a ,   y - b ,   z - c ⋅ b c , a c ,   a b = 0

Portanto,

b c x + a c y + a b z = 3 a b c

Agora vamos procurar as interseções desse plano com os eixos. Fazendo y = z = 0 :

b c x = 3 a b c

Logo,

x = 3 a

Analogamente para as demais interseções:

y = 3 b

z = 3 c

Passo 3

O volume da pirâmide será:

V = A b ⋅ h 3

A área da base será a área do triângulo retângulo no plano x y :

A b = x y 2

Já a altura estará no eixo z :

h = z

Assim,

V = x y z 6

Desta forma, como x = 3 a , y = 3 b e z = 3 c :

V = 27 a b c 6 = 9 a b c 2

Por fim, como o ponto ( a ,   b ,   c ) deve pertencer à superfície x y z = 1 , ele deve satisfazer sua equação:

a b c = 1

Portanto,

V = 9 ⋅ 1 2 = 9 2

Vemos que todas as pirâmides têm sempre o mesmo volume!

Resposta

Demonstração.

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