Enunciado

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) .

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = t ,   3 cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t

Passo 1

  1. Primeiro passo é derivar a função r t = t ,   3 cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t
  2. Note que derivamos termo a termo, assim:

    r ' t = 1 ,   - 3 sen ⁡ t ,   3 cos ⁡ t

    Passo 2

    Agora que temos a derivada, precisamos calcular:

    r '   t

    Isso implica que:

    r ' ( t ) = 1 2 + - 3   s e n   t 2 + 3 cos ⁡ t   2

    Isso nos da que:

    r ' ( t ) = 1 + 9 sin 2 ⁡ t + 9 cos 2 ⁡ t

    ⇒ r ' ( t ) = 1 + 9 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

    Sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

    Então,

    r ' ( t ) = 1 + 9 ⋅ 1 = 10

    Passo 3

    Então,

    T t = r ' ( t ) | r ' t | = 1 10 1 ,   - 3 sen ⁡ t ,   3 cos ⁡ t

    Derivando T t temos que:

    T ' ( t ) = 1 10 0 ,   - 3 cos ⁡ t ,   - 3 sen ⁡ t

    E agora, que temos a derivda, fazemos:

    T ' t = 1 10 0 + 9 cos 2 ⁡ t + 9 sen 2 ⁡ t = 3 10

    Passo 4

    E então, para calcularmos N ( t ) fazemos:

    N t = T ' t T ' t = 1 10 3 10 0 ,   - 3 cos ⁡ t ,   - 3 sen ⁡ t = 0 ,   - cos ⁡ t ,   - sen ⁡ t

    Passo 5

  3. Agora, utilizado a formula:

k t = | T ' t | r ' t = 3 10 10 = 3 10

Resposta

3 10

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