Enunciado

Mostre que um polinômio cúbico pode ter no máximo três raízes reais.

Passo 1

Queremos mostrar que um polinômio de terceiro grau da forma   f x = a x 3 + b x 2 + c x + d   pode ter no máximo 3 raízes reais.Sabendo que os polinômios são funções contínuas e deriváveis em um certo intervalo é possível aplicar o teorema de Rolle para averiguar sobre as raízes do mesmo. Lembrando que o Teorema de Rolle nos diz que uma função continua em um determinado intervalo [a, b] e tendo f a = f ( b ) , existe um número c tal que f ' c = 0 .

Passo 2

Para mostrarmos o que o enunciado pede, vamos utilizar o processo de contradição supondo que um polinômio cúbico possua 4 ou mais raízes e através do teorema de Rolle mostrar que isso não é possível.

Passo 3

Dada a suposição do passo anterior de que o polinômio cúbico apresenta 4 ou mais raízes, pelo teorema de Rolle podemos inferir que existem, pelo menos, três números c1, c2 e c3 entre essas raízes tais que f ’(c1) = f ’(c2) = f ’(c3) = 0 .

Passo 4

Se f ’(c1) = f ’(c2) = f ’(c3) = 0 e sendo f ’ continua podemos aplicar novamente o Teorema de Rolle e observar que existirá, assim, pelo menos, 2 números c4 e c5 entre essas raízes de f ' tais que f ”(c4) = f ”(c5) = 0.

Passo 5

Por fim, f "   sendo continua podemos aplicar uma última vez o Teorema de Rolle tal que para f ' ' ' teremos pelo menos uma raiz o que é uma contradição já que se derivamos a função f ( x ) inicial 3 vezes obteremos uma constante diferente de 0. Portanto, o polinômio cúbico pode ter, no máximo, 3 raízes reais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = sec 2 ⁡ θ . y ' = θ y ' = θ - sec 2 ⁡ θ
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = 1 - 1 x 2 .
Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = - 1 x 2 .