Enunciado

Determine todas as funções possíveis com a derivada y ' = - 1 x 2 .

Passo 1

Queremos saber todas as funções cuja derivada é - 1 x 2 , para isso aplicaremos o raciocínio inverso ao da derivada, aplicando as regras de derivação da maneira inversa.

Passo 2

Podemos reescrever y ' como sendo y ' =   - x - 2 para ficar mais simples de trabalhar utilizando regras de derivação mais simples. Se lembrarmos da derivação de polinômios temos que se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 , então, no nosso caso, pegando a função que nos foi dada no enunciado percebemos que para sua derivada resultar em - x - 2 é porque antes de derivarmos ela tinha expoente -1 .

Passo 3

Dessa forma, a nossa função inicial tinha uma aparência do tipo f x = 1 x . No entanto, como o enunciado quer todas as funções cuja derivada resulta em - 1 x 2 , devemos lembrar que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, para generalizarmos e conseguirmos todas as funções cuja derivada é - 1 x 2 , tomemos f x = 1 x + C , sendo C uma constante numérica.

Resposta

∴ f x = 1 x + C

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